Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18257 / 19035
↖ ↑ ↗
← S 27.945886°
E 20.577392°		 ← 1 079.18 m → S 27.945886°
E 20.588379°		 →
↑
1 079.12 m
↓
↑
1 079.12 m
↓
S 27.955591°
E 20.577392°		 ← 1 079.09 m →
1 164 517 m²		 S 27.955591°
E 20.588379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557174682617188 y=0.580917358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557174682617188 × 215)
    floor (0.557174682617188 × 32768)
    floor (18257.5)     		tx = 18257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580917358398438 × 215)
    floor (0.580917358398438 × 32768)
    floor (19035.5)     		ty = 19035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18257 / 19035 ti = "15/18257/19035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18257/19035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18257 ÷ 215
    18257 ÷ 32768     		x = 0.557159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19035 ÷ 215
    19035 ÷ 32768     		y = 0.580902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557159423828125 × 2 - 1) × π
    0.11431884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35914325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.508322883571075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35914325} λ = 0.35914325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508322883571075))-π/2
    2×atan(0.601503524798119)-π/2
    2×0.541524299925134-π/2
    1.08304859985027-1.57079632675     		φ = -0.48774773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35914325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.577392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48774773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.945886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18257 KachelY 19035 0.35914325 -0.48774773 20.577392 -27.945886
    Oben rechts KachelX + 1 18258 KachelY 19035 0.35933500 -0.48774773 20.588379 -27.945886
    Unten links KachelX 18257 KachelY + 1 19036 0.35914325 -0.48791711 20.577392 -27.955591
    Unten rechts KachelX + 1 18258 KachelY + 1 19036 0.35933500 -0.48791711 20.588379 -27.955591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48774773--0.48791711) × R
    0.000169379999999997 × 6371000     		dl = 1079.11997999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48774773--0.48791711) × R
    0.000169379999999997 × 6371000     		dr = 1079.11997999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35914325-0.35933500) × cos(-0.48774773) × R
    0.000191749999999991 × 0.883390596370222 × 6371000     		do = 1079.18462560672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35914325-0.35933500) × cos(-0.48791711) × R
    0.000191749999999991 × 0.883311205888223 × 6371000     		du = 1079.08763907783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48774773)-sin(-0.48791711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883390596370222-0.883311205888223)×R²
    abs(0.35933500-0.35914325)×7.93904819985647e-05×R²
    0.000191749999999991×7.93904819985647e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.93904819985647e-05×40589641000000     		ar = 1164517.36433472m²