Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18256 / 22607
↖ ↑ ↗
← N 75.442720°
W129.858398°		 ← 76.75 m → N 75.442720°
W129.855652°		 →
↑
76.77 m
↓
↑
76.77 m
↓
N 75.442030°
W129.858398°		 ← 76.76 m →
5 892 m²		 N 75.442030°
W129.855652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139286041259766 y=0.172481536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139286041259766 × 217)
    floor (0.139286041259766 × 131072)
    floor (18256.5)     		tx = 18256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172481536865234 × 217)
    floor (0.172481536865234 × 131072)
    floor (22607.5)     		ty = 22607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18256 / 22607 ti = "17/18256/22607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18256/22607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18256 ÷ 217
    18256 ÷ 131072     		x = 0.1392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22607 ÷ 217
    22607 ÷ 131072     		y = 0.172477722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26645661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172477722167969 × 2 - 1) × π
    0.655044555664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.05788316378939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26645661} λ = -2.26645661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05788316378939))-π/2
    2×atan(7.82937874379718)-π/2
    2×1.44376009131107-π/2
    2.88752018262214-1.57079632675     		φ = 1.31672386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26645661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.858398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31672386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.442720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18256 KachelY 22607 -2.26645661 1.31672386 -129.858398 75.442720
    Oben rechts KachelX + 1 18257 KachelY 22607 -2.26640868 1.31672386 -129.855652 75.442720
    Unten links KachelX 18256 KachelY + 1 22608 -2.26645661 1.31671181 -129.858398 75.442030
    Unten rechts KachelX + 1 18257 KachelY + 1 22608 -2.26640868 1.31671181 -129.855652 75.442030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31672386-1.31671181) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dl = 76.7705500002624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31672386-1.31671181) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dr = 76.7705500002624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26645661--2.26640868) × cos(1.31672386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251347760419356 × 6371000     		do = 76.7520623576553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26645661--2.26640868) × cos(1.31671181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251359423558095 × 6371000     		du = 76.7556238373767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31672386)-sin(1.31671181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251347760419356-0.251359423558095)×R²
    abs(-2.26640868--2.26645661)×1.16631387386823e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16631387386823e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16631387386823e-05×40589641000000     		ar = 5892.43474930294m²