Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18255 / 23887
↖ ↑ ↗
← S 63.307748°
E 20.555420°		 ← 548.73 m → S 63.307748°
E 20.566406°		 →
↑
548.67 m
↓
↑
548.67 m
↓
S 63.312683°
E 20.555420°		 ← 548.64 m →
301 046 m²		 S 63.312683°
E 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557113647460938 y=0.728988647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557113647460938 × 215)
    floor (0.557113647460938 × 32768)
    floor (18255.5)     		tx = 18255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728988647460938 × 215)
    floor (0.728988647460938 × 32768)
    floor (23887.5)     		ty = 23887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18255 / 23887 ti = "15/18255/23887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18255/23887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18255 ÷ 215
    18255 ÷ 32768     		x = 0.557098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23887 ÷ 215
    23887 ÷ 32768     		y = 0.728973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557098388671875 × 2 - 1) × π
    0.11419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35875976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.45794677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43868223139713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35875976} λ = 0.35875976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43868223139713))-π/2
    2×atan(0.237240180448249)-π/2
    2×0.232933839659686-π/2
    0.465867679319371-1.57079632675     		φ = -1.10492865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35875976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.555420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10492865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.307748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18255 KachelY 23887 0.35875976 -1.10492865 20.555420 -63.307748
    Oben rechts KachelX + 1 18256 KachelY 23887 0.35895150 -1.10492865 20.566406 -63.307748
    Unten links KachelX 18255 KachelY + 1 23888 0.35875976 -1.10501477 20.555420 -63.312683
    Unten rechts KachelX + 1 18256 KachelY + 1 23888 0.35895150 -1.10501477 20.566406 -63.312683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10492865--1.10501477) × R
    8.61199999999673e-05 × 6371000     		dl = 548.670519999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10492865--1.10501477) × R
    8.61199999999673e-05 × 6371000     		dr = 548.670519999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35875976-0.35895150) × cos(-1.10492865) × R
    0.000191739999999996 × 0.449198180779114 × 6371000     		do = 548.729510252252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35875976-0.35895150) × cos(-1.10501477) × R
    0.000191739999999996 × 0.449121236737269 × 6371000     		du = 548.635517292785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10492865)-sin(-1.10501477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449198180779114-0.449121236737269)×R²
    abs(0.35895150-0.35875976)×7.69440418453837e-05×R²
    0.000191739999999996×7.69440418453837e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.69440418453837e-05×40589641000000     		ar = 301045.920332147m²