Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18255 / 19033
↖ ↑ ↗
← S 27.926474°
E 20.555420°		 ← 1 079.32 m → S 27.926474°
E 20.566406°		 →
↑
1 079.31 m
↓
↑
1 079.31 m
↓
S 27.936180°
E 20.555420°		 ← 1 079.23 m →
1 164 872 m²		 S 27.936180°
E 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557113647460938 y=0.580856323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557113647460938 × 215)
    floor (0.557113647460938 × 32768)
    floor (18255.5)     		tx = 18255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580856323242188 × 215)
    floor (0.580856323242188 × 32768)
    floor (19033.5)     		ty = 19033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18255 / 19033 ti = "15/18255/19033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18255/19033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18255 ÷ 215
    18255 ÷ 32768     		x = 0.557098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19033 ÷ 215
    19033 ÷ 32768     		y = 0.580841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557098388671875 × 2 - 1) × π
    0.11419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35875976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.16168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.507939388374115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35875976} λ = 0.35875976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507939388374115))-π/2
    2×atan(0.601734242747619)-π/2
    2×0.541693703169679-π/2
    1.08338740633936-1.57079632675     		φ = -0.48740892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35875976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.555420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48740892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.926474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18255 KachelY 19033 0.35875976 -0.48740892 20.555420 -27.926474
    Oben rechts KachelX + 1 18256 KachelY 19033 0.35895150 -0.48740892 20.566406 -27.926474
    Unten links KachelX 18255 KachelY + 1 19034 0.35875976 -0.48757833 20.555420 -27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 18256 KachelY + 1 19034 0.35895150 -0.48757833 20.566406 -27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48740892--0.48757833) × R
    0.000169409999999981 × 6371000     		dl = 1079.31110999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48740892--0.48757833) × R
    0.000169409999999981 × 6371000     		dr = 1079.31110999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35875976-0.35895150) × cos(-0.48740892) × R
    0.000191739999999996 × 0.883549324716522 × 6371000     		do = 1079.3222434572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35875976-0.35895150) × cos(-0.48757833) × R
    0.000191739999999996 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 1079.22530674889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48740892)-sin(-0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883549324716522-0.883469970877867)×R²
    abs(0.35895150-0.35875976)×7.93538386545389e-05×R²
    0.000191739999999996×7.93538386545389e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.93538386545389e-05×40589641000000     		ar = 1164872.17898613m²