Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18255 / 13008
↖ ↑ ↗
← N 80.781758°
W129.861145°		 ← 48.93 m → N 80.781758°
W129.858398°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.781318°
W129.861145°		 ← 48.93 m →
2 394 m²		 N 80.781318°
W129.858398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139278411865234 y=0.0992469787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139278411865234 × 217)
    floor (0.139278411865234 × 131072)
    floor (18255.5)     		tx = 18255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992469787597656 × 217)
    floor (0.0992469787597656 × 131072)
    floor (13008.5)     		ty = 13008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18255 / 13008 ti = "17/18255/13008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18255/13008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18255 ÷ 217
    18255 ÷ 131072     		x = 0.139274597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13008 ÷ 217
    13008 ÷ 131072     		y = 0.0992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139274597167969 × 2 - 1) × π
    -0.721450805664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.26650455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992431640625 × 2 - 1) × π
    0.801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51802946324231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26650455} λ = -2.26650455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51802946324231))-π/2
    2×atan(12.4041297713778)-π/2
    2×1.49035199170747-π/2
    2.98070398341493-1.57079632675     		φ = 1.40990766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26650455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.861145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40990766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.781758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18255 KachelY 13008 -2.26650455 1.40990766 -129.861145 80.781758
    Oben rechts KachelX + 1 18256 KachelY 13008 -2.26645661 1.40990766 -129.858398 80.781758
    Unten links KachelX 18255 KachelY + 1 13009 -2.26650455 1.40989998 -129.861145 80.781318
    Unten rechts KachelX + 1 18256 KachelY + 1 13009 -2.26645661 1.40989998 -129.858398 80.781318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40990766-1.40989998) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40990766-1.40989998) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26650455--2.26645661) × cos(1.40990766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160195459695451 × 6371000     		do = 48.9278168220911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26650455--2.26645661) × cos(1.40989998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160203040505928 × 6371000     		du = 48.930132196741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40990766)-sin(1.40989998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160195459695451-0.160203040505928)×R²
    abs(-2.26645661--2.26650455)×7.58081047760872e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58081047760872e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58081047760872e-06×40589641000000     		ar = 2394.05949371589m²