Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18251 / 19634
↖ ↑ ↗
← S 33.596319°
E 20.511475°		 ← 1 017.52 m → S 33.596319°
E 20.522461°		 →
↑
1 017.51 m
↓
↑
1 017.51 m
↓
S 33.605470°
E 20.511475°		 ← 1 017.41 m →
1 035 284 m²		 S 33.605470°
E 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556991577148438 y=0.599197387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556991577148438 × 215)
    floor (0.556991577148438 × 32768)
    floor (18251.5)     		tx = 18251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599197387695312 × 215)
    floor (0.599197387695312 × 32768)
    floor (19634.5)     		ty = 19634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18251 / 19634 ti = "15/18251/19634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18251/19634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18251 ÷ 215
    18251 ÷ 32768     		x = 0.556976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19634 ÷ 215
    19634 ÷ 32768     		y = 0.59918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556976318359375 × 2 - 1) × π
    0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35799277} λ = 0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62317969506073))-π/2
    2×atan(0.536236654876517)-π/2
    2×0.492214972193883-π/2
    0.984429944387767-1.57079632675     		φ = -0.58636638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58636638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.596319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18251 KachelY 19634 0.35799277 -0.58636638 20.511475 -33.596319
    Oben rechts KachelX + 1 18252 KachelY 19634 0.35818451 -0.58636638 20.522461 -33.596319
    Unten links KachelX 18251 KachelY + 1 19635 0.35799277 -0.58652609 20.511475 -33.605470
    Unten rechts KachelX + 1 18252 KachelY + 1 19635 0.35818451 -0.58652609 20.522461 -33.605470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58636638--0.58652609) × R
    0.000159710000000035 × 6371000     		dl = 1017.51241000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58636638--0.58652609) × R
    0.000159710000000035 × 6371000     		dr = 1017.51241000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35799277-0.35818451) × cos(-0.58636638) × R
    0.000191739999999996 × 0.832956793662051 × 6371000     		do = 1017.51964501437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35799277-0.35818451) × cos(-0.58652609) × R
    0.000191739999999996 × 0.832868409421781 × 6371000     		du = 1017.41167698833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58636638)-sin(-0.58652609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832956793662051-0.832868409421781)×R²
    abs(0.35818451-0.35799277)×8.83842402703561e-05×R²
    0.000191739999999996×8.83842402703561e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.83842402703561e-05×40589641000000     		ar = 1035283.93901836m²