Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18250 / 51397
↖ ↑ ↗
← S 70.968655°
W 79.749756°		 ← 199.19 m → S 70.968655°
W 79.744262°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
S 70.970446°
W 79.749756°		 ← 199.17 m →
39 668 m²		 S 70.970446°
W 79.744262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278480529785156 y=0.784263610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278480529785156 × 216)
    floor (0.278480529785156 × 65536)
    floor (18250.5)     		tx = 18250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784263610839844 × 216)
    floor (0.784263610839844 × 65536)
    floor (51397.5)     		ty = 51397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18250 / 51397 ti = "16/18250/51397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18250/51397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18250 ÷ 216
    18250 ÷ 65536     		x = 0.278472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51397 ÷ 216
    51397 ÷ 65536     		y = 0.784255981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.44305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39189582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784255981445312 × 2 - 1) × π
    -0.568511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78603300604405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39189582} λ = -1.39189582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78603300604405))-π/2
    2×atan(0.167623815119425)-π/2
    2×0.166079812196673-π/2
    0.332159624393346-1.57079632675     		φ = -1.23863670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39189582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.749756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23863670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.968655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18250 KachelY 51397 -1.39189582 -1.23863670 -79.749756 -70.968655
    Oben rechts KachelX + 1 18251 KachelY 51397 -1.39179994 -1.23863670 -79.744262 -70.968655
    Unten links KachelX 18250 KachelY + 1 51398 -1.39189582 -1.23866796 -79.749756 -70.970446
    Unten rechts KachelX + 1 18251 KachelY + 1 51398 -1.39179994 -1.23866796 -79.744262 -70.970446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23863670--1.23866796) × R
    3.12599999998664e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23863670--1.23866796) × R
    3.12599999998664e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39189582--1.39179994) × cos(-1.23863670) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.326085369534808 × 6371000     		do = 199.189730586554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39189582--1.39179994) × cos(-1.23866796) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.326055818036902 × 6371000     		du = 199.171679010322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23863670)-sin(-1.23866796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326085369534808-0.326055818036902)×R²
    abs(-1.39179994--1.39189582)×2.95514979060107e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.95514979060107e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.95514979060107e-05×40589641000000     		ar = 39668.3232516926m²