Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18250 / 19632
↖ ↑ ↗
← S 33.578015°
E 20.500488°		 ← 1 017.79 m → S 33.578015°
E 20.511475°		 →
↑
1 017.77 m
↓
↑
1 017.77 m
↓
S 33.587168°
E 20.500488°		 ← 1 017.68 m →
1 035 817 m²		 S 33.587168°
E 20.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556961059570312 y=0.599136352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556961059570312 × 215)
    floor (0.556961059570312 × 32768)
    floor (18250.5)     		tx = 18250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599136352539062 × 215)
    floor (0.599136352539062 × 32768)
    floor (19632.5)     		ty = 19632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18250 / 19632 ti = "15/18250/19632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18250/19632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18250 ÷ 215
    18250 ÷ 32768     		x = 0.55694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19632 ÷ 215
    19632 ÷ 32768     		y = 0.59912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55694580078125 × 2 - 1) × π
    0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62279619986377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35780102} λ = 0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62279619986377))-π/2
    2×atan(0.536442338494915)-π/2
    2×0.492374706603153-π/2
    0.984749413206306-1.57079632675     		φ = -0.58604691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58604691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.578015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18250 KachelY 19632 0.35780102 -0.58604691 20.500488 -33.578015
    Oben rechts KachelX + 1 18251 KachelY 19632 0.35799277 -0.58604691 20.511475 -33.578015
    Unten links KachelX 18250 KachelY + 1 19633 0.35780102 -0.58620666 20.500488 -33.587168
    Unten rechts KachelX + 1 18251 KachelY + 1 19633 0.35799277 -0.58620666 20.511475 -33.587168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58604691--0.58620666) × R
    0.000159750000000014 × 6371000     		dl = 1017.76725000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58604691--0.58620666) × R
    0.000159750000000014 × 6371000     		dr = 1017.76725000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35780102-0.35799277) × cos(-0.58604691) × R
    0.000191749999999991 × 0.833133526054537 × 6371000     		do = 1017.78861591907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35780102-0.35799277) × cos(-0.58620666) × R
    0.000191749999999991 × 0.833045162187906 × 6371000     		du = 1017.68066715131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58604691)-sin(-0.58620666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833133526054537-0.833045162187906)×R²
    abs(0.35799277-0.35780102)×8.8363866631469e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8363866631469e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8363866631469e-05×40589641000000     		ar = 1035816.98954729m²