Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18250 / 18983
↖ ↑ ↗
← S 27.440040°
E 20.500488°		 ← 1 084.20 m → S 27.440040°
E 20.511475°		 →
↑
1 084.15 m
↓
↑
1 084.15 m
↓
S 27.449790°
E 20.500488°		 ← 1 084.10 m →
1 175 384 m²		 S 27.449790°
E 20.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556961059570312 y=0.579330444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556961059570312 × 215)
    floor (0.556961059570312 × 32768)
    floor (18250.5)     		tx = 18250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579330444335938 × 215)
    floor (0.579330444335938 × 32768)
    floor (18983.5)     		ty = 18983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18250 / 18983 ti = "15/18250/18983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18250/18983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18250 ÷ 215
    18250 ÷ 32768     		x = 0.55694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18983 ÷ 215
    18983 ÷ 32768     		y = 0.579315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55694580078125 × 2 - 1) × π
    0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579315185546875 × 2 - 1) × π
    -0.15863037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.498352008450104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35780102} λ = 0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498352008450104))-π/2
    2×atan(0.607531041198301)-π/2
    2×0.545938636905559-π/2
    1.09187727381112-1.57079632675     		φ = -0.47891905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47891905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.440040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18250 KachelY 18983 0.35780102 -0.47891905 20.500488 -27.440040
    Oben rechts KachelX + 1 18251 KachelY 18983 0.35799277 -0.47891905 20.511475 -27.440040
    Unten links KachelX 18250 KachelY + 1 18984 0.35780102 -0.47908922 20.500488 -27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 18251 KachelY + 1 18984 0.35799277 -0.47908922 20.511475 -27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47891905--0.47908922) × R
    0.00017016999999997 × 6371000     		dl = 1084.15306999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47891905--0.47908922) × R
    0.00017016999999997 × 6371000     		dr = 1084.15306999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35780102-0.35799277) × cos(-0.47891905) × R
    0.000191749999999991 × 0.887493564676033 × 6371000     		do = 1084.1969727306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35780102-0.35799277) × cos(-0.47908922) × R
    0.000191749999999991 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 1084.10115882211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47891905)-sin(-0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887493564676033-0.887415134068556)×R²
    abs(0.35799277-0.35780102)×7.84306074764762e-05×R²
    0.000191749999999991×7.84306074764762e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.84306074764762e-05×40589641000000     		ar = 1175383.54083519m²