Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1825 / 1136
↖ ↑ ↗
← N 62.267923°
W 19.599610°		 ← 4 547.77 m → N 62.267923°
W 19.511718°		 →
↑
4 550.87 m
↓
↑
4 550.87 m
↓
N 62.226996°
W 19.599610°		 ← 4 553.95 m →
20 710 357 m²		 N 62.226996°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4456787109375 y=0.2774658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4456787109375 × 212)
    floor (0.4456787109375 × 4096)
    floor (1825.5)     		tx = 1825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2774658203125 × 212)
    floor (0.2774658203125 × 4096)
    floor (1136.5)     		ty = 1136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1825 / 1136 ti = "12/1825/1136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1825/1136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1825 ÷ 212
    1825 ÷ 4096     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1136 ÷ 212
    1136 ÷ 4096     		y = 0.27734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27734375 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39899047851172))-π/2
    2×atan(4.05110822103903)-π/2
    2×1.32878829751836-π/2
    2.65757659503671-1.57079632675     		φ = 1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1825 KachelY 1136 -0.34207772 1.08678027 -19.599610 62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 1826 KachelY 1136 -0.34054373 1.08678027 -19.511718 62.267923
    Unten links KachelX 1825 KachelY + 1 1137 -0.34207772 1.08606596 -19.599610 62.226996
    Unten rechts KachelX + 1 1826 KachelY + 1 1137 -0.34054373 1.08606596 -19.511718 62.226996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08678027-1.08606596) × R
    0.000714309999999996 × 6371000     		dl = 4550.86900999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08678027-1.08606596) × R
    0.000714309999999996 × 6371000     		dr = 4550.86900999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34054373) × cos(1.08678027) × R
    0.00153398999999999 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 4547.76839215957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34054373) × cos(1.08606596) × R
    0.00153398999999999 × 0.465969804762405 × 6371000     		du = 4553.94633556442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08678027)-sin(1.08606596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.465969804762405)×R²
    abs(-0.34054373--0.34207772)×0.000632140756624766×R²
    0.00153398999999999×0.000632140756624766×6371000²
    0.00153398999999999×0.000632140756624766×40589641000000     		ar = 20710356.6267317m²