Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18249 / 22729
↖ ↑ ↗
← N 75.358259°
W129.877624°		 ← 77.19 m → N 75.358259°
W129.874878°		 →
↑
77.22 m
↓
↑
77.22 m
↓
N 75.357564°
W129.877624°		 ← 77.19 m →
5 960 m²		 N 75.357564°
W129.874878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139232635498047 y=0.173412322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139232635498047 × 217)
    floor (0.139232635498047 × 131072)
    floor (18249.5)     		tx = 18249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173412322998047 × 217)
    floor (0.173412322998047 × 131072)
    floor (22729.5)     		ty = 22729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18249 / 22729 ti = "17/18249/22729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18249/22729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18249 ÷ 217
    18249 ÷ 131072     		x = 0.139228820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22729 ÷ 217
    22729 ÷ 131072     		y = 0.173408508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139228820800781 × 2 - 1) × π
    -0.721542358398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.26679217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173408508300781 × 2 - 1) × π
    0.653182983398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.05203486203574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26679217} λ = -2.26679217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05203486203574))-π/2
    2×atan(7.78372380641157)-π/2
    2×1.44302302866812-π/2
    2.88604605733624-1.57079632675     		φ = 1.31524973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26679217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.877624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31524973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.358259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18249 KachelY 22729 -2.26679217 1.31524973 -129.877624 75.358259
    Oben rechts KachelX + 1 18250 KachelY 22729 -2.26674424 1.31524973 -129.874878 75.358259
    Unten links KachelX 18249 KachelY + 1 22730 -2.26679217 1.31523761 -129.877624 75.357564
    Unten rechts KachelX + 1 18250 KachelY + 1 22730 -2.26674424 1.31523761 -129.874878 75.357564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31524973-1.31523761) × R
    1.21199999998378e-05 × 6371000     		dl = 77.2165199989667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31524973-1.31523761) × R
    1.21199999998378e-05 × 6371000     		dr = 77.2165199989667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26679217--2.26674424) × cos(1.31524973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252774292582569 × 6371000     		do = 77.1876711148744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26679217--2.26674424) × cos(1.31523761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252786018970331 × 6371000     		du = 77.1912519084461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31524973)-sin(1.31523761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252774292582569-0.252786018970331)×R²
    abs(-2.26674424--2.26679217)×1.17263877622564e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17263877622564e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17263877622564e-05×40589641000000     		ar = 5960.30159852612m²