Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18248 / 51403
↖ ↑ ↗
← S 70.979400°
W 79.760742°		 ← 199.06 m → S 70.979400°
W 79.755249°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
S 70.981190°
W 79.760742°		 ← 199.04 m →
39 617 m²		 S 70.981190°
W 79.755249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278450012207031 y=0.784355163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278450012207031 × 216)
    floor (0.278450012207031 × 65536)
    floor (18248.5)     		tx = 18248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784355163574219 × 216)
    floor (0.784355163574219 × 65536)
    floor (51403.5)     		ty = 51403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18248 / 51403 ti = "16/18248/51403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18248/51403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18248 ÷ 216
    18248 ÷ 65536     		x = 0.2784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51403 ÷ 216
    51403 ÷ 65536     		y = 0.784347534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39208756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784347534179688 × 2 - 1) × π
    -0.568695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78660824883949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39208756} λ = -1.39208756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78660824883949))-π/2
    2×atan(0.167527418455835)-π/2
    2×0.165986048564766-π/2
    0.331972097129532-1.57079632675     		φ = -1.23882423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39208756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.760742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23882423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.979400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18248 KachelY 51403 -1.39208756 -1.23882423 -79.760742 -70.979400
    Oben rechts KachelX + 1 18249 KachelY 51403 -1.39199169 -1.23882423 -79.755249 -70.979400
    Unten links KachelX 18248 KachelY + 1 51404 -1.39208756 -1.23885547 -79.760742 -70.981190
    Unten rechts KachelX + 1 18249 KachelY + 1 51404 -1.39199169 -1.23885547 -79.755249 -70.981190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23882423--1.23885547) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23882423--1.23885547) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39208756--1.39199169) × cos(-1.23882423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325908084130727 × 6371000     		do = 199.060671931175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39208756--1.39199169) × cos(-1.23885547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325878549630086 × 6371000     		du = 199.04263261939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23882423)-sin(-1.23885547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325908084130727-0.325878549630086)×R²
    abs(-1.39199169--1.39208756)×2.95345006406933e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95345006406933e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95345006406933e-05×40589641000000     		ar = 39617.2583175859m²