Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18247 / 51275
↖ ↑ ↗
← S 70.748912°
W 79.766235°		 ← 201.40 m → S 70.748912°
W 79.760742°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 70.750723°
W 79.766235°		 ← 201.38 m →
40 545 m²		 S 70.750723°
W 79.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278434753417969 y=0.782402038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278434753417969 × 216)
    floor (0.278434753417969 × 65536)
    floor (18247.5)     		tx = 18247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782402038574219 × 216)
    floor (0.782402038574219 × 65536)
    floor (51275.5)     		ty = 51275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18247 / 51275 ti = "16/18247/51275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18247/51275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18247 ÷ 216
    18247 ÷ 65536     		x = 0.278427124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51275 ÷ 216
    51275 ÷ 65536     		y = 0.782394409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.443145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39218344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782394409179688 × 2 - 1) × π
    -0.564788818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77433640253676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39218344} λ = -1.39218344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77433640253676))-π/2
    2×atan(0.169595955611876)-π/2
    2×0.167997435461807-π/2
    0.335994870923613-1.57079632675     		φ = -1.23480146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39218344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.766235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23480146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.748912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18247 KachelY 51275 -1.39218344 -1.23480146 -79.766235 -70.748912
    Oben rechts KachelX + 1 18248 KachelY 51275 -1.39208756 -1.23480146 -79.760742 -70.748912
    Unten links KachelX 18247 KachelY + 1 51276 -1.39218344 -1.23483306 -79.766235 -70.750723
    Unten rechts KachelX + 1 18248 KachelY + 1 51276 -1.39208756 -1.23483306 -79.760742 -70.750723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23480146--1.23483306) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23480146--1.23483306) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39218344--1.39208756) × cos(-1.23480146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329708569475461 × 6371000     		do = 201.402967632636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39218344--1.39208756) × cos(-1.23483306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329678736295608 × 6371000     		du = 201.38474399057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23480146)-sin(-1.23483306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329708569475461-0.329678736295608)×R²
    abs(-1.39208756--1.39218344)×2.9833179852834e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9833179852834e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9833179852834e-05×40589641000000     		ar = 40545.3360732412m²