Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18247 / 18985
↖ ↑ ↗
← S 27.459539°
E 20.467530°		 ← 1 083.95 m → S 27.459539°
E 20.478515°		 →
↑
1 083.96 m
↓
↑
1 083.96 m
↓
S 27.469287°
E 20.467530°		 ← 1 083.85 m →
1 174 907 m²		 S 27.469287°
E 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556869506835938 y=0.579391479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556869506835938 × 215)
    floor (0.556869506835938 × 32768)
    floor (18247.5)     		tx = 18247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579391479492188 × 215)
    floor (0.579391479492188 × 32768)
    floor (18985.5)     		ty = 18985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18247 / 18985 ti = "15/18247/18985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18247/18985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18247 ÷ 215
    18247 ÷ 32768     		x = 0.556854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18985 ÷ 215
    18985 ÷ 32768     		y = 0.579376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556854248046875 × 2 - 1) × π
    0.11370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35722578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.15875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.498735503647064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35722578} λ = 0.35722578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498735503647064))-π/2
    2×atan(0.607298100630646)-π/2
    2×0.545768477185366-π/2
    1.09153695437073-1.57079632675     		φ = -0.47925937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35722578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.467530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47925937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.459539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18247 KachelY 18985 0.35722578 -0.47925937 20.467530 -27.459539
    Oben rechts KachelX + 1 18248 KachelY 18985 0.35741752 -0.47925937 20.478515 -27.459539
    Unten links KachelX 18247 KachelY + 1 18986 0.35722578 -0.47942951 20.467530 -27.469287
    Unten rechts KachelX + 1 18248 KachelY + 1 18986 0.35741752 -0.47942951 20.478515 -27.469287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47925937--0.47942951) × R
    0.000170139999999985 × 6371000     		dl = 1083.96193999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47925937--0.47942951) × R
    0.000170139999999985 × 6371000     		dr = 1083.96193999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35722578-0.35741752) × cos(-0.47925937) × R
    0.000191739999999996 × 0.887336686985907 × 6371000     		do = 1083.9487925666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35722578-0.35741752) × cos(-0.47942951) × R
    0.000191739999999996 × 0.887258218826684 × 6371000     		du = 1083.85293778262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47925937)-sin(-0.47942951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887336686985907-0.887258218826684)×R²
    abs(0.35741752-0.35722578)×7.84681592230774e-05×R²
    0.000191739999999996×7.84681592230774e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.84681592230774e-05×40589641000000     		ar = 1174907.28741676m²