Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18246 / 51400
↖ ↑ ↗
← S 70.974028°
W 79.771728°		 ← 199.11 m → S 70.974028°
W 79.766235°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 70.975819°
W 79.771728°		 ← 199.10 m →
39 641 m²		 S 70.975819°
W 79.766235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278419494628906 y=0.784309387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278419494628906 × 216)
    floor (0.278419494628906 × 65536)
    floor (18246.5)     		tx = 18246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784309387207031 × 216)
    floor (0.784309387207031 × 65536)
    floor (51400.5)     		ty = 51400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18246 / 51400 ti = "16/18246/51400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18246/51400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18246 ÷ 216
    18246 ÷ 65536     		x = 0.278411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51400 ÷ 216
    51400 ÷ 65536     		y = 0.7843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.44317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39227931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78632062744177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39227931} λ = -1.39227931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78632062744177))-π/2
    2×atan(0.167575609856194)-π/2
    2×0.166032924006928-π/2
    0.332065848013856-1.57079632675     		φ = -1.23873048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39227931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.771728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23873048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.974028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18246 KachelY 51400 -1.39227931 -1.23873048 -79.771728 -70.974028
    Oben rechts KachelX + 1 18247 KachelY 51400 -1.39218344 -1.23873048 -79.766235 -70.974028
    Unten links KachelX 18246 KachelY + 1 51401 -1.39227931 -1.23876173 -79.771728 -70.975819
    Unten rechts KachelX + 1 18247 KachelY + 1 51401 -1.39218344 -1.23876173 -79.766235 -70.975819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23873048--1.23876173) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23873048--1.23876173) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39227931--1.39218344) × cos(-1.23873048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325996714085265 × 6371000     		do = 199.114806023462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39227931--1.39218344) × cos(-1.23876173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325967171085404 × 6371000     		du = 199.096761520458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23873048)-sin(-1.23876173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325996714085265-0.325967171085404)×R²
    abs(-1.39218344--1.39227931)×2.95429998616314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95429998616314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95429998616314e-05×40589641000000     		ar = 39640.7171407426m²