Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18246 / 51284
↖ ↑ ↗
← S 70.765205°
W 79.771728°		 ← 201.22 m → S 70.765205°
W 79.766235°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 70.767015°
W 79.771728°		 ← 201.20 m →
40 495 m²		 S 70.767015°
W 79.766235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278419494628906 y=0.782539367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278419494628906 × 216)
    floor (0.278419494628906 × 65536)
    floor (18246.5)     		tx = 18246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782539367675781 × 216)
    floor (0.782539367675781 × 65536)
    floor (51284.5)     		ty = 51284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18246 / 51284 ti = "16/18246/51284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18246/51284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18246 ÷ 216
    18246 ÷ 65536     		x = 0.278411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51284 ÷ 216
    51284 ÷ 65536     		y = 0.78253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.44317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39227931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77519926672992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39227931} λ = -1.39227931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77519926672992))-π/2
    2×atan(0.169449680451349)-π/2
    2×0.167855246525151-π/2
    0.335710493050303-1.57079632675     		φ = -1.23508583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39227931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.771728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23508583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.765205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18246 KachelY 51284 -1.39227931 -1.23508583 -79.771728 -70.765205
    Oben rechts KachelX + 1 18247 KachelY 51284 -1.39218344 -1.23508583 -79.766235 -70.765205
    Unten links KachelX 18246 KachelY + 1 51285 -1.39227931 -1.23511742 -79.771728 -70.767015
    Unten rechts KachelX + 1 18247 KachelY + 1 51285 -1.39218344 -1.23511742 -79.766235 -70.767015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23508583--1.23511742) × R
    3.15899999998592e-05 × 6371000     		dl = 201.259889999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23508583--1.23511742) × R
    3.15899999998592e-05 × 6371000     		dr = 201.259889999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39227931--1.39218344) × cos(-1.23508583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329440087333239 × 6371000     		do = 201.21797629087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39227931--1.39218344) × cos(-1.23511742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329410260633804 × 6371000     		du = 201.199758507636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23508583)-sin(-1.23511742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329440087333239-0.329410260633804)×R²
    abs(-1.39218344--1.39227931)×2.9826699434965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9826699434965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9826699434965e-05×40589641000000     		ar = 40495.2745229698m²