Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18245 / 51401
↖ ↑ ↗
← S 70.975819°
W 79.777222°		 ← 199.12 m → S 70.975819°
W 79.771728°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 70.977609°
W 79.777222°		 ← 199.10 m →
39 641 m²		 S 70.977609°
W 79.771728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278404235839844 y=0.784324645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278404235839844 × 216)
    floor (0.278404235839844 × 65536)
    floor (18245.5)     		tx = 18245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784324645996094 × 216)
    floor (0.784324645996094 × 65536)
    floor (51401.5)     		ty = 51401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18245 / 51401 ti = "16/18245/51401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18245/51401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18245 ÷ 216
    18245 ÷ 65536     		x = 0.278396606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51401 ÷ 216
    51401 ÷ 65536     		y = 0.784317016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278396606445312 × 2 - 1) × π
    -0.443206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39237519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784317016601562 × 2 - 1) × π
    -0.568634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78641650124101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39237519} λ = -1.39237519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78641650124101))-π/2
    2×atan(0.167559544515952)-π/2
    2×0.166017297443293-π/2
    0.332034594886587-1.57079632675     		φ = -1.23876173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39237519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.777222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23876173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.975819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18245 KachelY 51401 -1.39237519 -1.23876173 -79.777222 -70.975819
    Oben rechts KachelX + 1 18246 KachelY 51401 -1.39227931 -1.23876173 -79.771728 -70.975819
    Unten links KachelX 18245 KachelY + 1 51402 -1.39237519 -1.23879298 -79.777222 -70.977609
    Unten rechts KachelX + 1 18246 KachelY + 1 51402 -1.39227931 -1.23879298 -79.771728 -70.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23876173--1.23879298) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23876173--1.23879298) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39237519--1.39227931) × cos(-1.23876173) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.325967171085404 × 6371000     		do = 199.117528889263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39237519--1.39227931) × cos(-1.23879298) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.325937627767215 × 6371000     		du = 199.099482309623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23876173)-sin(-1.23879298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325967171085404-0.325937627767215)×R²
    abs(-1.39227931--1.39237519)×2.95433181889959e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.95433181889959e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.95433181889959e-05×40589641000000     		ar = 39641.2590400148m²