Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18245 / 18987
↖ ↑ ↗
← S 27.479035°
E 20.445557°		 ← 1 083.81 m → S 27.479035°
E 20.456543°		 →
↑
1 083.77 m
↓
↑
1 083.77 m
↓
S 27.488781°
E 20.445557°		 ← 1 083.72 m →
1 174 554 m²		 S 27.488781°
E 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556808471679688 y=0.579452514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556808471679688 × 215)
    floor (0.556808471679688 × 32768)
    floor (18245.5)     		tx = 18245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579452514648438 × 215)
    floor (0.579452514648438 × 32768)
    floor (18987.5)     		ty = 18987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18245 / 18987 ti = "15/18245/18987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18245/18987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18245 ÷ 215
    18245 ÷ 32768     		x = 0.556793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18987 ÷ 215
    18987 ÷ 32768     		y = 0.579437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556793212890625 × 2 - 1) × π
    0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.15887451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.499118998844025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35684228} λ = 0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499118998844025))-π/2
    2×atan(0.607065249377454)-π/2
    2×0.545598347553236-π/2
    1.09119669510647-1.57079632675     		φ = -0.47959963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47959963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.479035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18245 KachelY 18987 0.35684228 -0.47959963 20.445557 -27.479035
    Oben rechts KachelX + 1 18246 KachelY 18987 0.35703403 -0.47959963 20.456543 -27.479035
    Unten links KachelX 18245 KachelY + 1 18988 0.35684228 -0.47976974 20.445557 -27.488781
    Unten rechts KachelX + 1 18246 KachelY + 1 18988 0.35703403 -0.47976974 20.456543 -27.488781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47959963--0.47976974) × R
    0.000170110000000001 × 6371000     		dl = 1083.77081000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47959963--0.47976974) × R
    0.000170110000000001 × 6371000     		dr = 1083.77081000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35684228-0.35703403) × cos(-0.47959963) × R
    0.000191749999999991 × 0.887179734211928 × 6371000     		do = 1083.8135851178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35684228-0.35703403) × cos(-0.47976974) × R
    0.000191749999999991 × 0.887101228537217 × 6371000     		du = 1083.71767950423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47959963)-sin(-0.47976974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887179734211928-0.887101228537217)×R²
    abs(0.35703403-0.35684228)×7.85056747105717e-05×R²
    0.000191749999999991×7.85056747105717e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.85056747105717e-05×40589641000000     		ar = 1174553.56001238m²