Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18244 / 52555
↖ ↑ ↗
← S 72.937374°
W 79.782715°		 ← 179.22 m → S 72.937374°
W 79.777222°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
S 72.938985°
W 79.782715°		 ← 179.20 m →
32 105 m²		 S 72.938985°
W 79.777222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278388977050781 y=0.801933288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278388977050781 × 216)
    floor (0.278388977050781 × 65536)
    floor (18244.5)     		tx = 18244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801933288574219 × 216)
    floor (0.801933288574219 × 65536)
    floor (52555.5)     		ty = 52555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18244 / 52555 ti = "16/18244/52555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18244/52555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18244 ÷ 216
    18244 ÷ 65536     		x = 0.27838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52555 ÷ 216
    52555 ÷ 65536     		y = 0.801925659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39247106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801925659179688 × 2 - 1) × π
    -0.603851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8970548655641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39247106} λ = -1.39247106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8970548655641))-π/2
    2×atan(0.150009768216313)-π/2
    2×0.148899500863595-π/2
    0.29779900172719-1.57079632675     		φ = -1.27299733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39247106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27299733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.937374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18244 KachelY 52555 -1.39247106 -1.27299733 -79.782715 -72.937374
    Oben rechts KachelX + 1 18245 KachelY 52555 -1.39237519 -1.27299733 -79.777222 -72.937374
    Unten links KachelX 18244 KachelY + 1 52556 -1.39247106 -1.27302545 -79.782715 -72.938985
    Unten rechts KachelX + 1 18245 KachelY + 1 52556 -1.39237519 -1.27302545 -79.777222 -72.938985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27299733--1.27302545) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dl = 179.152520000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27299733--1.27302545) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dr = 179.152520000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39247106--1.39237519) × cos(-1.27299733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293416793873558 × 6371000     		do = 179.215389210576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39247106--1.39237519) × cos(-1.27302545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293389911470166 × 6371000     		du = 179.198969767356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27299733)-sin(-1.27302545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293416793873558-0.293389911470166)×R²
    abs(-1.39237519--1.39247106)×2.68824033917703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68824033917703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68824033917703e-05×40589641000000     		ar = 32105.4178097746m²