Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18244 / 51405
↖ ↑ ↗
← S 70.982980°
W 79.782715°		 ← 199.02 m → S 70.982980°
W 79.777222°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
S 70.984770°
W 79.782715°		 ← 199.01 m →
39 610 m²		 S 70.984770°
W 79.777222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278388977050781 y=0.784385681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278388977050781 × 216)
    floor (0.278388977050781 × 65536)
    floor (18244.5)     		tx = 18244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784385681152344 × 216)
    floor (0.784385681152344 × 65536)
    floor (51405.5)     		ty = 51405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18244 / 51405 ti = "16/18244/51405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18244/51405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18244 ÷ 216
    18244 ÷ 65536     		x = 0.27838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51405 ÷ 216
    51405 ÷ 65536     		y = 0.784378051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39247106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784378051757812 × 2 - 1) × π
    -0.568756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78679999643797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39247106} λ = -1.39247106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78679999643797))-π/2
    2×atan(0.167495298555222)-π/2
    2×0.165954805350474-π/2
    0.331909610700948-1.57079632675     		φ = -1.23888672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39247106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23888672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.982980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18244 KachelY 51405 -1.39247106 -1.23888672 -79.782715 -70.982980
    Oben rechts KachelX + 1 18245 KachelY 51405 -1.39237519 -1.23888672 -79.777222 -70.982980
    Unten links KachelX 18244 KachelY + 1 51406 -1.39247106 -1.23891796 -79.782715 -70.984770
    Unten rechts KachelX + 1 18245 KachelY + 1 51406 -1.39237519 -1.23891796 -79.777222 -70.984770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23888672--1.23891796) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23888672--1.23891796) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39247106--1.39237519) × cos(-1.23888672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32584900535719 × 6371000     		do = 199.024587338832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39247106--1.39237519) × cos(-1.23891796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325819470220403 × 6371000     		du = 199.006547638497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23888672)-sin(-1.23891796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32584900535719-0.325819470220403)×R²
    abs(-1.39237519--1.39247106)×2.95351367878838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95351367878838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95351367878838e-05×40589641000000     		ar = 39610.0763608734m²