Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18243 / 22718
↖ ↑ ↗
← N 75.365894°
W129.894104°		 ← 77.15 m → N 75.365894°
W129.891358°		 →
↑
77.22 m
↓
↑
77.22 m
↓
N 75.365199°
W129.894104°		 ← 77.15 m →
5 957 m²		 N 75.365199°
W129.891358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139186859130859 y=0.173328399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139186859130859 × 217)
    floor (0.139186859130859 × 131072)
    floor (18243.5)     		tx = 18243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173328399658203 × 217)
    floor (0.173328399658203 × 131072)
    floor (22718.5)     		ty = 22718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18243 / 22718 ti = "17/18243/22718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18243/22718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18243 ÷ 217
    18243 ÷ 131072     		x = 0.139183044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22718 ÷ 217
    22718 ÷ 131072     		y = 0.173324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139183044433594 × 2 - 1) × π
    -0.721633911132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.26707979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173324584960938 × 2 - 1) × π
    0.653350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05256216793156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26707979} λ = -2.26707979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05256216793156))-π/2
    2×atan(7.78782929219443)-π/2
    2×1.44308965635762-π/2
    2.88617931271524-1.57079632675     		φ = 1.31538299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26707979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.894104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31538299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.365894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18243 KachelY 22718 -2.26707979 1.31538299 -129.894104 75.365894
    Oben rechts KachelX + 1 18244 KachelY 22718 -2.26703186 1.31538299 -129.891358 75.365894
    Unten links KachelX 18243 KachelY + 1 22719 -2.26707979 1.31537087 -129.894104 75.365199
    Unten rechts KachelX + 1 18244 KachelY + 1 22719 -2.26703186 1.31537087 -129.891358 75.365199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31538299-1.31537087) × R
    1.21200000000599e-05 × 6371000     		dl = 77.2165200003814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31538299-1.31537087) × R
    1.21200000000599e-05 × 6371000     		dr = 77.2165200003814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26707979--2.26703186) × cos(1.31538299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.252645357920444 × 6371000     		do = 77.1482993647106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26707979--2.26703186) × cos(1.31537087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.25265708471637 × 6371000     		du = 77.1518802829201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31538299)-sin(1.31537087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252645357920444-0.25265708471637)×R²
    abs(-2.26703186--2.26707979)×1.172679592637e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.172679592637e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.172679592637e-05×40589641000000     		ar = 5957.26145398893m²