Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18242 / 51406
↖ ↑ ↗
← S 70.984770°
W 79.793701°		 ← 199.03 m → S 70.984770°
W 79.788208°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 70.986560°
W 79.793701°		 ← 199.01 m →
39 598 m²		 S 70.986560°
W 79.788208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278358459472656 y=0.784400939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278358459472656 × 216)
    floor (0.278358459472656 × 65536)
    floor (18242.5)     		tx = 18242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784400939941406 × 216)
    floor (0.784400939941406 × 65536)
    floor (51406.5)     		ty = 51406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18242 / 51406 ti = "16/18242/51406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18242/51406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18242 ÷ 216
    18242 ÷ 65536     		x = 0.278350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51406 ÷ 216
    51406 ÷ 65536     		y = 0.784393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.44329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39266281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.56878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78689587023721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39266281} λ = -1.39266281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78689587023721))-π/2
    2×atan(0.16747924091436)-π/2
    2×0.165939185867133-π/2
    0.331878371734266-1.57079632675     		φ = -1.23891796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39266281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.793701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23891796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.984770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18242 KachelY 51406 -1.39266281 -1.23891796 -79.793701 -70.984770
    Oben rechts KachelX + 1 18243 KachelY 51406 -1.39256693 -1.23891796 -79.788208 -70.984770
    Unten links KachelX 18242 KachelY + 1 51407 -1.39266281 -1.23894919 -79.793701 -70.986560
    Unten rechts KachelX + 1 18243 KachelY + 1 51407 -1.39256693 -1.23894919 -79.788208 -70.986560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23891796--1.23894919) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23891796--1.23894919) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39266281--1.39256693) × cos(-1.23891796) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325819470220403 × 6371000     		do = 199.027305596818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39266281--1.39256693) × cos(-1.23894919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.325789944220057 × 6371000     		du = 199.009269595809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23891796)-sin(-1.23894919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325819470220403-0.325789944220057)×R²
    abs(-1.39256693--1.39266281)×2.95260003456699e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.95260003456699e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.95260003456699e-05×40589641000000     		ar = 39597.9382890707m²