Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18242 / 51270
↖ ↑ ↗
← S 70.739854°
W 79.793701°		 ← 201.49 m → S 70.739854°
W 79.788208°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 70.741666°
W 79.793701°		 ← 201.48 m →
40 589 m²		 S 70.741666°
W 79.788208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278358459472656 y=0.782325744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278358459472656 × 216)
    floor (0.278358459472656 × 65536)
    floor (18242.5)     		tx = 18242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782325744628906 × 216)
    floor (0.782325744628906 × 65536)
    floor (51270.5)     		ty = 51270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18242 / 51270 ti = "16/18242/51270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18242/51270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18242 ÷ 216
    18242 ÷ 65536     		x = 0.278350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51270 ÷ 216
    51270 ÷ 65536     		y = 0.782318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.44329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39266281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.56463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77385703354056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39266281} λ = -1.39266281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77385703354056))-π/2
    2×atan(0.169677274144112)-π/2
    2×0.168076479380273-π/2
    0.336152958760546-1.57079632675     		φ = -1.23464337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39266281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.793701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23464337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.739854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18242 KachelY 51270 -1.39266281 -1.23464337 -79.793701 -70.739854
    Oben rechts KachelX + 1 18243 KachelY 51270 -1.39256693 -1.23464337 -79.788208 -70.739854
    Unten links KachelX 18242 KachelY + 1 51271 -1.39266281 -1.23467499 -79.793701 -70.741666
    Unten rechts KachelX + 1 18243 KachelY + 1 51271 -1.39256693 -1.23467499 -79.788208 -70.741666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23464337--1.23467499) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23464337--1.23467499) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39266281--1.39256693) × cos(-1.23464337) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32985781539838 × 6371000     		do = 201.494134725535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39266281--1.39256693) × cos(-1.23467499) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329827964985111 × 6371000     		du = 201.475900556411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23464337)-sin(-1.23467499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32985781539838-0.329827964985111)×R²
    abs(-1.39256693--1.39266281)×2.98504132689725e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.98504132689725e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.98504132689725e-05×40589641000000     		ar = 40589.36232206m²