Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18242 / 23877
↖ ↑ ↗
← S 63.258355°
E 20.412598°		 ← 549.70 m → S 63.258355°
E 20.423584°		 →
↑
549.69 m
↓
↑
549.69 m
↓
S 63.263299°
E 20.412598°		 ← 549.60 m →
302 138 m²		 S 63.263299°
E 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556716918945312 y=0.728683471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556716918945312 × 215)
    floor (0.556716918945312 × 32768)
    floor (18242.5)     		tx = 18242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728683471679688 × 215)
    floor (0.728683471679688 × 32768)
    floor (23877.5)     		ty = 23877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18242 / 23877 ti = "15/18242/23877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18242/23877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18242 ÷ 215
    18242 ÷ 32768     		x = 0.55670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23877 ÷ 215
    23877 ÷ 32768     		y = 0.728668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55670166015625 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.45733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43676475541232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35626704} λ = 0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43676475541232))-π/2
    2×atan(0.237695519207945)-π/2
    2×0.23336487207343-π/2
    0.466729744146859-1.57079632675     		φ = -1.10406658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10406658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.258355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18242 KachelY 23877 0.35626704 -1.10406658 20.412598 -63.258355
    Oben rechts KachelX + 1 18243 KachelY 23877 0.35645879 -1.10406658 20.423584 -63.258355
    Unten links KachelX 18242 KachelY + 1 23878 0.35626704 -1.10415286 20.412598 -63.263299
    Unten rechts KachelX + 1 18243 KachelY + 1 23878 0.35645879 -1.10415286 20.423584 -63.263299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10406658--1.10415286) × R
    8.62799999998831e-05 × 6371000     		dl = 549.689879999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10406658--1.10415286) × R
    8.62799999998831e-05 × 6371000     		dr = 549.689879999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35626704-0.35645879) × cos(-1.10406658) × R
    0.000191750000000046 × 0.449968214817246 × 6371000     		do = 549.698832473311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35626704-0.35645879) × cos(-1.10415286) × R
    0.000191750000000046 × 0.449891161256927 × 6371000     		du = 549.604700819673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10406658)-sin(-1.10415286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449968214817246-0.449891161256927)×R²
    abs(0.35645879-0.35626704)×7.70535603188405e-05×R²
    0.000191750000000046×7.70535603188405e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.70535603188405e-05×40589641000000     		ar = 302138.013837434m²