Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18242 / 22730
↖ ↑ ↗
← N 75.357564°
W129.896851°		 ← 77.21 m → N 75.357564°
W129.894104°		 →
↑
77.15 m
↓
↑
77.15 m
↓
N 75.356870°
W129.896851°		 ← 77.21 m →
5 957 m²		 N 75.356870°
W129.894104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139179229736328 y=0.173419952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139179229736328 × 217)
    floor (0.139179229736328 × 131072)
    floor (18242.5)     		tx = 18242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173419952392578 × 217)
    floor (0.173419952392578 × 131072)
    floor (22730.5)     		ty = 22730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18242 / 22730 ti = "17/18242/22730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18242/22730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18242 ÷ 217
    18242 ÷ 131072     		x = 0.139175415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22730 ÷ 217
    22730 ÷ 131072     		y = 0.173416137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139175415039062 × 2 - 1) × π
    -0.721649169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26712773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173416137695312 × 2 - 1) × π
    0.653167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05198692513612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26712773} λ = -2.26712773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05198692513612))-π/2
    2×atan(7.78335068776794)-π/2
    2×1.44301696991969-π/2
    2.88603393983937-1.57079632675     		φ = 1.31523761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26712773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.896851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31523761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.357564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18242 KachelY 22730 -2.26712773 1.31523761 -129.896851 75.357564
    Oben rechts KachelX + 1 18243 KachelY 22730 -2.26707979 1.31523761 -129.894104 75.357564
    Unten links KachelX 18242 KachelY + 1 22731 -2.26712773 1.31522550 -129.896851 75.356870
    Unten rechts KachelX + 1 18243 KachelY + 1 22731 -2.26707979 1.31522550 -129.894104 75.356870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31523761-1.31522550) × R
    1.21100000001206e-05 × 6371000     		dl = 77.1528100007686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31523761-1.31522550) × R
    1.21100000001206e-05 × 6371000     		dr = 77.1528100007686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26712773--2.26707979) × cos(1.31523761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252786018970331 × 6371000     		do = 77.2073569056168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26712773--2.26707979) × cos(1.31522550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252797735645769 × 6371000     		du = 77.2109354798828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31523761)-sin(1.31522550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252786018970331-0.252797735645769)×R²
    abs(-2.26707979--2.26712773)×1.17166754382003e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17166754382003e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17166754382003e-05×40589641000000     		ar = 5956.90258653582m²