Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18242 / 19274
↖ ↑ ↗
← S 30.240086°
E 20.412598°		 ← 1 055.40 m → S 30.240086°
E 20.423584°		 →
↑
1 055.36 m
↓
↑
1 055.36 m
↓
S 30.249577°
E 20.412598°		 ← 1 055.30 m →
1 113 771 m²		 S 30.249577°
E 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556716918945312 y=0.588211059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556716918945312 × 215)
    floor (0.556716918945312 × 32768)
    floor (18242.5)     		tx = 18242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588211059570312 × 215)
    floor (0.588211059570312 × 32768)
    floor (19274.5)     		ty = 19274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18242 / 19274 ti = "15/18242/19274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18242/19274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18242 ÷ 215
    18242 ÷ 32768     		x = 0.55670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19274 ÷ 215
    19274 ÷ 32768     		y = 0.58819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55670166015625 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.554150559607849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35626704} λ = 0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554150559607849))-π/2
    2×atan(0.574560108532392)-π/2
    2×0.521503626860994-π/2
    1.04300725372199-1.57079632675     		φ = -0.52778907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52778907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.240086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18242 KachelY 19274 0.35626704 -0.52778907 20.412598 -30.240086
    Oben rechts KachelX + 1 18243 KachelY 19274 0.35645879 -0.52778907 20.423584 -30.240086
    Unten links KachelX 18242 KachelY + 1 19275 0.35626704 -0.52795472 20.412598 -30.249577
    Unten rechts KachelX + 1 18243 KachelY + 1 19275 0.35645879 -0.52795472 20.423584 -30.249577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52778907--0.52795472) × R
    0.000165650000000017 × 6371000     		dl = 1055.35615000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52778907--0.52795472) × R
    0.000165650000000017 × 6371000     		dr = 1055.35615000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35626704-0.35645879) × cos(-0.52778907) × R
    0.000191750000000046 × 0.863922659643392 × 6371000     		do = 1055.40182998501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35626704-0.35645879) × cos(-0.52795472) × R
    0.000191750000000046 × 0.863839222392173 × 6371000     		du = 1055.29989976401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52778907)-sin(-0.52795472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863922659643392-0.863839222392173)×R²
    abs(0.35645879-0.35626704)×8.3437251218732e-05×R²
    0.000191750000000046×8.3437251218732e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.3437251218732e-05×40589641000000     		ar = 1113771.02820037m²