Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18241 / 22719
↖ ↑ ↗
← N 75.365199°
W129.899597°		 ← 77.17 m → N 75.365199°
W129.896851°		 →
↑
77.15 m
↓
↑
77.15 m
↓
N 75.364505°
W129.899597°		 ← 77.17 m →
5 954 m²		 N 75.364505°
W129.896851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139171600341797 y=0.173336029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139171600341797 × 217)
    floor (0.139171600341797 × 131072)
    floor (18241.5)     		tx = 18241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173336029052734 × 217)
    floor (0.173336029052734 × 131072)
    floor (22719.5)     		ty = 22719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18241 / 22719 ti = "17/18241/22719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18241/22719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18241 ÷ 217
    18241 ÷ 131072     		x = 0.139167785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22719 ÷ 217
    22719 ÷ 131072     		y = 0.173332214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139167785644531 × 2 - 1) × π
    -0.721664428710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.26717567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173332214355469 × 2 - 1) × π
    0.653335571289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.05251423103194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26717567} λ = -2.26717567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05251423103194))-π/2
    2×atan(7.78745597675126)-π/2
    2×1.44308360069951-π/2
    2.88616720139902-1.57079632675     		φ = 1.31537087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26717567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.899597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31537087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.365199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18241 KachelY 22719 -2.26717567 1.31537087 -129.899597 75.365199
    Oben rechts KachelX + 1 18242 KachelY 22719 -2.26712773 1.31537087 -129.896851 75.365199
    Unten links KachelX 18241 KachelY + 1 22720 -2.26717567 1.31535876 -129.899597 75.364505
    Unten rechts KachelX + 1 18242 KachelY + 1 22720 -2.26712773 1.31535876 -129.896851 75.364505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31537087-1.31535876) × R
    1.21099999998986e-05 × 6371000     		dl = 77.1528099993539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31537087-1.31535876) × R
    1.21099999998986e-05 × 6371000     		dr = 77.1528099993539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26717567--2.26712773) × cos(1.31537087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25265708471637 × 6371000     		do = 77.1679770656896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26717567--2.26712773) × cos(1.31535876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.252668801799655 × 6371000     		du = 77.1715557645222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31537087)-sin(1.31535876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25265708471637-0.252668801799655)×R²
    abs(-2.26712773--2.26717567)×1.1717083284124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1717083284124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1717083284124e-05×40589641000000     		ar = 5953.86432602642m²