Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18240 / 51290
↖ ↑ ↗
← S 70.776061°
W 79.804688°		 ← 201.13 m → S 70.776061°
W 79.799194°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
S 70.777869°
W 79.804688°		 ← 201.11 m →
40 452 m²		 S 70.777869°
W 79.799194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278327941894531 y=0.782630920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278327941894531 × 216)
    floor (0.278327941894531 × 65536)
    floor (18240.5)     		tx = 18240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782630920410156 × 216)
    floor (0.782630920410156 × 65536)
    floor (51290.5)     		ty = 51290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18240 / 51290 ti = "16/18240/51290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18240/51290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18240 ÷ 216
    18240 ÷ 65536     		x = 0.2783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51290 ÷ 216
    51290 ÷ 65536     		y = 0.782623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39285456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.56524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77577450952536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39285456} λ = -1.39285456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77577450952536))-π/2
    2×atan(0.169352233773916)-π/2
    2×0.167760518235602-π/2
    0.335521036471204-1.57079632675     		φ = -1.23527529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39285456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.804688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23527529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.776061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18240 KachelY 51290 -1.39285456 -1.23527529 -79.804688 -70.776061
    Oben rechts KachelX + 1 18241 KachelY 51290 -1.39275868 -1.23527529 -79.799194 -70.776061
    Unten links KachelX 18240 KachelY + 1 51291 -1.39285456 -1.23530686 -79.804688 -70.777869
    Unten rechts KachelX + 1 18241 KachelY + 1 51291 -1.39275868 -1.23530686 -79.799194 -70.777869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23527529--1.23530686) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23527529--1.23530686) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39285456--1.39275868) × cos(-1.23527529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329261197745419 × 6371000     		do = 201.12968994923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39285456--1.39275868) × cos(-1.23530686) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329231387959882 × 6371000     		du = 201.111480597616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23527529)-sin(-1.23530686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329261197745419-0.329231387959882)×R²
    abs(-1.39275868--1.39285456)×2.98097855374602e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.98097855374602e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.98097855374602e-05×40589641000000     		ar = 40451.880087292m²