Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1824 / 2271
↖ ↑ ↗
← N 62.288365°
W 99.843750°		 ← 2 272.33 m → N 62.288365°
W 99.799804°		 →
↑
2 273.11 m
↓
↑
2 273.11 m
↓
N 62.267923°
W 99.843750°		 ← 2 273.87 m →
5 166 999 m²		 N 62.267923°
W 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22271728515625 y=0.27728271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22271728515625 × 213)
    floor (0.22271728515625 × 8192)
    floor (1824.5)     		tx = 1824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27728271484375 × 213)
    floor (0.27728271484375 × 8192)
    floor (2271.5)     		ty = 2271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1824 / 2271 ti = "13/1824/2271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1824/2271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1824 ÷ 213
    1824 ÷ 8192     		x = 0.22265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2271 ÷ 213
    2271 ÷ 8192     		y = 0.2772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22265625 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74260217} λ = -1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39975746890564))-π/2
    2×atan(4.05421657401536)-π/2
    2×1.32896669171252-π/2
    2.65793338342505-1.57079632675     		φ = 1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1824 KachelY 2271 -1.74260217 1.08713706 -99.843750 62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 1825 KachelY 2271 -1.74183518 1.08713706 -99.799804 62.288365
    Unten links KachelX 1824 KachelY + 1 2272 -1.74260217 1.08678027 -99.843750 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 1825 KachelY + 1 2272 -1.74183518 1.08678027 -99.799804 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08713706-1.08678027) × R
    0.000356790000000107 × 6371000     		dl = 2273.10909000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08713706-1.08678027) × R
    0.000356790000000107 × 6371000     		dr = 2273.10909000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74260217--1.74183518) × cos(1.08713706) × R
    0.000766990000000023 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 2272.32604077948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74260217--1.74183518) × cos(1.08678027) × R
    0.000766990000000023 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 2273.86937274859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08713706)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.46533766400578)×R²
    abs(-1.74183518--1.74260217)×0.000315836301722994×R²
    0.000766990000000023×0.000315836301722994×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315836301722994×40589641000000     		ar = 5166999.11451597m²