Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18238 / 51249
↖ ↑ ↗
← S 70.701767°
W 79.815674°		 ← 201.86 m → S 70.701767°
W 79.810181°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
S 70.703582°
W 79.815674°		 ← 201.84 m →
40 739 m²		 S 70.703582°
W 79.810181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278297424316406 y=0.782005310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278297424316406 × 216)
    floor (0.278297424316406 × 65536)
    floor (18238.5)     		tx = 18238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782005310058594 × 216)
    floor (0.782005310058594 × 65536)
    floor (51249.5)     		ty = 51249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18238 / 51249 ti = "16/18238/51249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18238/51249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18238 ÷ 216
    18238 ÷ 65536     		x = 0.278289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51249 ÷ 216
    51249 ÷ 65536     		y = 0.781997680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.44342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39304630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781997680664062 × 2 - 1) × π
    -0.563995361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77184368375652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39304630} λ = -1.39304630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77184368375652))-π/2
    2×atan(0.170019237978258)-π/2
    2×0.168408854705219-π/2
    0.336817709410438-1.57079632675     		φ = -1.23397862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39304630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.815674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23397862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.701767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18238 KachelY 51249 -1.39304630 -1.23397862 -79.815674 -70.701767
    Oben rechts KachelX + 1 18239 KachelY 51249 -1.39295043 -1.23397862 -79.810181 -70.701767
    Unten links KachelX 18238 KachelY + 1 51250 -1.39304630 -1.23401030 -79.815674 -70.703582
    Unten rechts KachelX + 1 18239 KachelY + 1 51250 -1.39295043 -1.23401030 -79.810181 -70.703582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23397862--1.23401030) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23397862--1.23401030) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39304630--1.39295043) × cos(-1.23397862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330485286829516 × 6371000     		do = 201.856371360406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39304630--1.39295043) × cos(-1.23401030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330455386726644 × 6371000     		du = 201.83810874325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23397862)-sin(-1.23401030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330485286829516-0.330455386726644)×R²
    abs(-1.39295043--1.39304630)×2.99001028722934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99001028722934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99001028722934e-05×40589641000000     		ar = 40739.4905221662m²