Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18236 / 52650
↖ ↑ ↗
← S 73.089829°
W 79.826660°		 ← 177.66 m → S 73.089829°
W 79.821167°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 73.091427°
W 79.826660°		 ← 177.64 m →
31 567 m²		 S 73.091427°
W 79.821167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278266906738281 y=0.803382873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278266906738281 × 216)
    floor (0.278266906738281 × 65536)
    floor (18236.5)     		tx = 18236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803382873535156 × 216)
    floor (0.803382873535156 × 65536)
    floor (52650.5)     		ty = 52650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18236 / 52650 ti = "16/18236/52650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18236/52650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18236 ÷ 216
    18236 ÷ 65536     		x = 0.27825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52650 ÷ 216
    52650 ÷ 65536     		y = 0.803375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39323805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.60675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90616287649191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39323805} λ = -1.39323805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90616287649191))-π/2
    2×atan(0.148649680855648)-π/2
    2×0.147569081205844-π/2
    0.295138162411688-1.57079632675     		φ = -1.27565816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39323805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.826660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27565816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.089829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18236 KachelY 52650 -1.39323805 -1.27565816 -79.826660 -73.089829
    Oben rechts KachelX + 1 18237 KachelY 52650 -1.39314218 -1.27565816 -79.821167 -73.089829
    Unten links KachelX 18236 KachelY + 1 52651 -1.39323805 -1.27568605 -79.826660 -73.091427
    Unten rechts KachelX + 1 18237 KachelY + 1 52651 -1.39314218 -1.27568605 -79.821167 -73.091427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27565816--1.27568605) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dl = 177.687189999486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27565816--1.27568605) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dr = 177.687189999486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39323805--1.39314218) × cos(-1.27565816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290872045633456 × 6371000     		do = 177.661088107793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39323805--1.39314218) × cos(-1.27568605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290845361429195 × 6371000     		du = 177.644789722178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27565816)-sin(-1.27568605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290872045633456-0.290845361429195)×R²
    abs(-1.39314218--1.39323805)×2.66842042609405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66842042609405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66842042609405e-05×40589641000000     		ar = 31566.6515130505m²