Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18236 / 19587
↖ ↑ ↗
← S 33.165145°
E 20.346680°		 ← 1 022.63 m → S 33.165145°
E 20.357666°		 →
↑
1 022.61 m
↓
↑
1 022.61 m
↓
S 33.174342°
E 20.346680°		 ← 1 022.52 m →
1 045 697 m²		 S 33.174342°
E 20.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556533813476562 y=0.597763061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556533813476562 × 215)
    floor (0.556533813476562 × 32768)
    floor (18236.5)     		tx = 18236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597763061523438 × 215)
    floor (0.597763061523438 × 32768)
    floor (19587.5)     		ty = 19587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18236 / 19587 ti = "15/18236/19587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18236/19587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18236 ÷ 215
    18236 ÷ 32768     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19587 ÷ 215
    19587 ÷ 32768     		y = 0.597747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.19549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.614167557932159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.614167557932159))-π/2
    2×atan(0.541091134907358)-π/2
    2×0.49597767126656-π/2
    0.991955342533119-1.57079632675     		φ = -0.57884098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57884098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.165145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18236 KachelY 19587 0.35511655 -0.57884098 20.346680 -33.165145
    Oben rechts KachelX + 1 18237 KachelY 19587 0.35530830 -0.57884098 20.357666 -33.165145
    Unten links KachelX 18236 KachelY + 1 19588 0.35511655 -0.57900149 20.346680 -33.174342
    Unten rechts KachelX + 1 18237 KachelY + 1 19588 0.35530830 -0.57900149 20.357666 -33.174342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57884098--0.57900149) × R
    0.000160510000000058 × 6371000     		dl = 1022.60921000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57884098--0.57900149) × R
    0.000160510000000058 × 6371000     		dr = 1022.60921000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35530830) × cos(-0.57884098) × R
    0.000191750000000046 × 0.837097258654682 × 6371000     		do = 1022.63086724021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35530830) × cos(-0.57900149) × R
    0.000191750000000046 × 0.837009440219494 × 6371000     		du = 1022.52358479291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57884098)-sin(-0.57900149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837097258654682-0.837009440219494)×R²
    abs(0.35530830-0.35511655)×8.7818435187681e-05×R²
    0.000191750000000046×8.7818435187681e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.7818435187681e-05×40589641000000     		ar = 1045696.89150641m²