Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18234 / 52574
↖ ↑ ↗
← S 72.967971°
W 79.837647°		 ← 178.92 m → S 72.967971°
W 79.832153°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 72.969580°
W 79.837647°		 ← 178.91 m →
32 007 m²		 S 72.969580°
W 79.832153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278236389160156 y=0.802223205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278236389160156 × 216)
    floor (0.278236389160156 × 65536)
    floor (18234.5)     		tx = 18234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802223205566406 × 216)
    floor (0.802223205566406 × 65536)
    floor (52574.5)     		ty = 52574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18234 / 52574 ti = "16/18234/52574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18234/52574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18234 ÷ 216
    18234 ÷ 65536     		x = 0.278228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52574 ÷ 216
    52574 ÷ 65536     		y = 0.802215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.44354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39342980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.60443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89887646774966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39342980} λ = -1.39342980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89887646774966))-π/2
    2×atan(0.149736758827417)-π/2
    2×0.148632489093293-π/2
    0.297264978186586-1.57079632675     		φ = -1.27353135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39342980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.837647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27353135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.967971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18234 KachelY 52574 -1.39342980 -1.27353135 -79.837647 -72.967971
    Oben rechts KachelX + 1 18235 KachelY 52574 -1.39333392 -1.27353135 -79.832153 -72.967971
    Unten links KachelX 18234 KachelY + 1 52575 -1.39342980 -1.27355943 -79.837647 -72.969580
    Unten rechts KachelX + 1 18235 KachelY + 1 52575 -1.39333392 -1.27355943 -79.832153 -72.969580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27353135--1.27355943) × R
    2.80799999998749e-05 × 6371000     		dl = 178.897679999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27353135--1.27355943) × R
    2.80799999998749e-05 × 6371000     		dr = 178.897679999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39342980--1.39333392) × cos(-1.27353135) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.29290623715554 × 6371000     		do = 178.92220846799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39342980--1.39333392) × cos(-1.27355943) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.292879388596025 × 6371000     		du = 178.905807985674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27353135)-sin(-1.27355943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29290623715554-0.292879388596025)×R²
    abs(-1.39333392--1.39342980)×2.68485595154577e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.68485595154577e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.68485595154577e-05×40589641000000     		ar = 32007.300993021m²