Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18231 / 52503
↖ ↑ ↗
← S 72.853361°
W 79.854126°		 ← 180.07 m → S 72.853361°
W 79.848633°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 72.854981°
W 79.854126°		 ← 180.05 m →
32 431 m²		 S 72.854981°
W 79.848633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278190612792969 y=0.801139831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278190612792969 × 216)
    floor (0.278190612792969 × 65536)
    floor (18231.5)     		tx = 18231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801139831542969 × 216)
    floor (0.801139831542969 × 65536)
    floor (52503.5)     		ty = 52503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18231 / 52503 ti = "16/18231/52503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18231/52503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18231 ÷ 216
    18231 ÷ 65536     		x = 0.278182983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52503 ÷ 216
    52503 ÷ 65536     		y = 0.801132202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.443634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39371742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801132202148438 × 2 - 1) × π
    -0.602264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89206942800362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39371742} λ = -1.39371742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89206942800362))-π/2
    2×atan(0.150759499866528)-π/2
    2×0.149632651877771-π/2
    0.299265303755542-1.57079632675     		φ = -1.27153102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39371742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.854126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27153102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.853361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18231 KachelY 52503 -1.39371742 -1.27153102 -79.854126 -72.853361
    Oben rechts KachelX + 1 18232 KachelY 52503 -1.39362155 -1.27153102 -79.848633 -72.853361
    Unten links KachelX 18231 KachelY + 1 52504 -1.39371742 -1.27155929 -79.854126 -72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 18232 KachelY + 1 52504 -1.39362155 -1.27155929 -79.848633 -72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27153102--1.27155929) × R
    2.82699999998304e-05 × 6371000     		dl = 180.108169998919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27153102--1.27155929) × R
    2.82699999998304e-05 × 6371000     		dr = 180.108169998919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39371742--1.39362155) × cos(-1.27153102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29481824774026 × 6371000     		do = 180.071380092577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39371742--1.39362155) × cos(-1.27155929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 180.054880509385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27153102)-sin(-1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29481824774026-0.294791234129309)×R²
    abs(-1.39362155--1.39371742)×2.70136109514207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70136109514207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70136109514207e-05×40589641000000     		ar = 32430.8408850806m²