Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18230 / 52569
↖ ↑ ↗
← S 72.959925°
W 79.859619°		 ← 178.99 m → S 72.959925°
W 79.854126°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
S 72.961534°
W 79.859619°		 ← 178.97 m →
32 030 m²		 S 72.961534°
W 79.854126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278175354003906 y=0.802146911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278175354003906 × 216)
    floor (0.278175354003906 × 65536)
    floor (18230.5)     		tx = 18230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802146911621094 × 216)
    floor (0.802146911621094 × 65536)
    floor (52569.5)     		ty = 52569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18230 / 52569 ti = "16/18230/52569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18230/52569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18230 ÷ 216
    18230 ÷ 65536     		x = 0.278167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52569 ÷ 216
    52569 ÷ 65536     		y = 0.802139282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.44366455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39381329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802139282226562 × 2 - 1) × π
    -0.604278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89839709875346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39381329} λ = -1.39381329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89839709875346))-π/2
    2×atan(0.149808555194292)-π/2
    2×0.148702710269337-π/2
    0.297405420538675-1.57079632675     		φ = -1.27339091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39381329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.859619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27339091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.959925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18230 KachelY 52569 -1.39381329 -1.27339091 -79.859619 -72.959925
    Oben rechts KachelX + 1 18231 KachelY 52569 -1.39371742 -1.27339091 -79.854126 -72.959925
    Unten links KachelX 18230 KachelY + 1 52570 -1.39381329 -1.27341900 -79.859619 -72.961534
    Unten rechts KachelX + 1 18231 KachelY + 1 52570 -1.39371742 -1.27341900 -79.854126 -72.961534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27339091--1.27341900) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dl = 178.96139000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27339091--1.27341900) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dr = 178.96139000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39381329--1.39371742) × cos(-1.27339091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293040514732407 × 6371000     		do = 178.985562513055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39381329--1.39371742) × cos(-1.27341900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293013657767113 × 6371000     		du = 178.969158607114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27339091)-sin(-1.27341900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293040514732407-0.293013657767113)×R²
    abs(-1.39371742--1.39381329)×2.68569652944195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68569652944195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68569652944195e-05×40589641000000     		ar = 32030.0372266894m²