Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1823 / 890
↖ ↑ ↗
← N 70.786910°
W 19.775391°		 ← 3 216.12 m → N 70.786910°
W 19.687500°		 →
↑
3 218.44 m
↓
↑
3 218.44 m
↓
N 70.757966°
W 19.775391°		 ← 3 220.78 m →
10 358 378 m²		 N 70.757966°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4451904296875 y=0.2174072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4451904296875 × 212)
    floor (0.4451904296875 × 4096)
    floor (1823.5)     		tx = 1823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2174072265625 × 212)
    floor (0.2174072265625 × 4096)
    floor (890.5)     		ty = 890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1823 / 890 ti = "12/1823/890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1823/890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1823 ÷ 212
    1823 ÷ 4096     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 890 ÷ 212
    890 ÷ 4096     		y = 0.21728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7763497523208))-π/2
    2×atan(5.90825043155362)-π/2
    2×1.40313048540957-π/2
    2.80626097081914-1.57079632675     		φ = 1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1823 KachelY 890 -0.34514568 1.23546464 -19.775391 70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 1824 KachelY 890 -0.34361170 1.23546464 -19.687500 70.786910
    Unten links KachelX 1823 KachelY + 1 891 -0.34514568 1.23495947 -19.775391 70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 1824 KachelY + 1 891 -0.34361170 1.23495947 -19.687500 70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23546464-1.23495947) × R
    0.000505170000000055 × 6371000     		dl = 3218.43807000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23546464-1.23495947) × R
    0.000505170000000055 × 6371000     		dr = 3218.43807000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34361170) × cos(1.23546464) × R
    0.00153397999999999 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 3216.1178809848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34361170) × cos(1.23495947) × R
    0.00153397999999999 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 3220.77950402264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23546464)-sin(1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.329559390843107)×R²
    abs(-0.34361170--0.34514568)×0.00047699063123352×R²
    0.00153397999999999×0.00047699063123352×6371000²
    0.00153397999999999×0.00047699063123352×40589641000000     		ar = 10358378.0185817m²