Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1823 / 1327
↖ ↑ ↗
← N 76.362262°
W 99.887696°		 ← 1 152.16 m → N 76.362262°
W 99.843750°		 →
↑
1 152.58 m
↓
↑
1 152.58 m
↓
N 76.351896°
W 99.887696°		 ← 1 153.02 m →
1 328 453 m²		 N 76.351896°
W 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22259521484375 y=0.16204833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22259521484375 × 213)
    floor (0.22259521484375 × 8192)
    floor (1823.5)     		tx = 1823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16204833984375 × 213)
    floor (0.16204833984375 × 8192)
    floor (1327.5)     		ty = 1327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1823 / 1327 ti = "13/1823/1327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1823/1327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1823 ÷ 213
    1823 ÷ 8192     		x = 0.2225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1327 ÷ 213
    1327 ÷ 8192     		y = 0.1619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74336917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1619873046875 × 2 - 1) × π
    0.676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12379640076697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74336917} λ = -1.74336917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12379640076697))-π/2
    2×atan(8.36282593740351)-π/2
    2×1.45178460988932-π/2
    2.90356921977864-1.57079632675     		φ = 1.33277289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74336917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.887696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33277289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.362262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1823 KachelY 1327 -1.74336917 1.33277289 -99.887696 76.362262
    Oben rechts KachelX + 1 1824 KachelY 1327 -1.74260217 1.33277289 -99.843750 76.362262
    Unten links KachelX 1823 KachelY + 1 1328 -1.74336917 1.33259198 -99.887696 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 1824 KachelY + 1 1328 -1.74260217 1.33259198 -99.843750 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33277289-1.33259198) × R
    0.00018091000000009 × 6371000     		dl = 1152.57761000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33277289-1.33259198) × R
    0.00018091000000009 × 6371000     		dr = 1152.57761000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74336917--1.74260217) × cos(1.33277289) × R
    0.000766999999999962 × 0.235782252448032 × 6371000     		do = 1152.16341617564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74336917--1.74260217) × cos(1.33259198) × R
    0.000766999999999962 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 1153.02250000725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33277289)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235782252448032-0.235958057996113)×R²
    abs(-1.74260217--1.74336917)×0.000175805548081109×R²
    0.000766999999999962×0.000175805548081109×6371000²
    0.000766999999999962×0.000175805548081109×40589641000000     		ar = 1328452.84056456m²