Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1823 / 1123
↖ ↑ ↗
← N 62.794935°
W 19.775391°		 ← 4 467.98 m → N 62.794935°
W 19.687500°		 →
↑
4 471.04 m
↓
↑
4 471.04 m
↓
N 62.754726°
W 19.775391°		 ← 4 474.08 m →
19 990 155 m²		 N 62.754726°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4451904296875 y=0.2742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4451904296875 × 212)
    floor (0.4451904296875 × 4096)
    floor (1823.5)     		tx = 1823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2742919921875 × 212)
    floor (0.2742919921875 × 4096)
    floor (1123.5)     		ty = 1123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1823 / 1123 ti = "12/1823/1123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1823/1123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1823 ÷ 212
    1823 ÷ 4096     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1123 ÷ 212
    1123 ÷ 4096     		y = 0.274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    0.45166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41893222875366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41893222875366))-π/2
    2×atan(4.13270529960226)-π/2
    2×1.33338734699403-π/2
    2.66677469398806-1.57079632675     		φ = 1.09597837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09597837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.794935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1823 KachelY 1123 -0.34514568 1.09597837 -19.775391 62.794935
    Oben rechts KachelX + 1 1824 KachelY 1123 -0.34361170 1.09597837 -19.687500 62.794935
    Unten links KachelX 1823 KachelY + 1 1124 -0.34514568 1.09527659 -19.775391 62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 1824 KachelY + 1 1124 -0.34361170 1.09527659 -19.687500 62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09597837-1.09527659) × R
    0.000701779999999985 × 6371000     		dl = 4471.04037999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09597837-1.09527659) × R
    0.000701779999999985 × 6371000     		dr = 4471.04037999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34361170) × cos(1.09597837) × R
    0.00153397999999999 × 0.457176549904494 × 6371000     		do = 4467.98028690729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34361170) × cos(1.09527659) × R
    0.00153397999999999 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 4474.07895922744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09597837)-sin(1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457176549904494-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.34361170--0.34514568)×0.000624033632935728×R²
    0.00153397999999999×0.000624033632935728×6371000²
    0.00153397999999999×0.000624033632935728×40589641000000     		ar = 19990154.8053286m²