Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18229 / 51317
↖ ↑ ↗
← S 70.824835°
W 79.865112°		 ← 200.64 m → S 70.824835°
W 79.859619°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 70.826640°
W 79.865112°		 ← 200.62 m →
40 251 m²		 S 70.826640°
W 79.859619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278160095214844 y=0.783042907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278160095214844 × 216)
    floor (0.278160095214844 × 65536)
    floor (18229.5)     		tx = 18229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783042907714844 × 216)
    floor (0.783042907714844 × 65536)
    floor (51317.5)     		ty = 51317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18229 / 51317 ti = "16/18229/51317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18229/51317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18229 ÷ 216
    18229 ÷ 65536     		x = 0.278152465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51317 ÷ 216
    51317 ÷ 65536     		y = 0.783035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278152465820312 × 2 - 1) × π
    -0.443695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39390917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783035278320312 × 2 - 1) × π
    -0.566070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77836310210484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39390917} λ = -1.39390917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77836310210484))-π/2
    2×atan(0.16891441674768)-π/2
    2×0.167334877139388-π/2
    0.334669754278776-1.57079632675     		φ = -1.23612657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39390917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.865112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23612657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.824835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18229 KachelY 51317 -1.39390917 -1.23612657 -79.865112 -70.824835
    Oben rechts KachelX + 1 18230 KachelY 51317 -1.39381329 -1.23612657 -79.859619 -70.824835
    Unten links KachelX 18229 KachelY + 1 51318 -1.39390917 -1.23615806 -79.865112 -70.826640
    Unten rechts KachelX + 1 18230 KachelY + 1 51318 -1.39381329 -1.23615806 -79.859619 -70.826640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23612657--1.23615806) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23612657--1.23615806) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39390917--1.39381329) × cos(-1.23612657) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328457266864109 × 6371000     		do = 200.638607580565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39390917--1.39381329) × cos(-1.23615806) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328427523803245 × 6371000     		du = 200.620438987816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23612657)-sin(-1.23615806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328457266864109-0.328427523803245)×R²
    abs(-1.39381329--1.39390917)×2.97430608645621e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97430608645621e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97430608645621e-05×40589641000000     		ar = 40250.8547211125m²