Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18229 / 24010
↖ ↑ ↗
← S 63.908396°
E 20.269775°		 ← 537.29 m → S 63.908396°
E 20.280762°		 →
↑
537.27 m
↓
↑
537.27 m
↓
S 63.913228°
E 20.269775°		 ← 537.19 m →
288 641 m²		 S 63.913228°
E 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556320190429688 y=0.732742309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556320190429688 × 215)
    floor (0.556320190429688 × 32768)
    floor (18229.5)     		tx = 18229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732742309570312 × 215)
    floor (0.732742309570312 × 32768)
    floor (24010.5)     		ty = 24010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18229 / 24010 ti = "15/18229/24010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18229/24010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18229 ÷ 215
    18229 ÷ 32768     		x = 0.556304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24010 ÷ 215
    24010 ÷ 32768     		y = 0.73272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556304931640625 × 2 - 1) × π
    0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46226718601019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35377432} λ = 0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46226718601019))-π/2
    2×atan(0.231710348308422)-π/2
    2×0.227692196552318-π/2
    0.455384393104636-1.57079632675     		φ = -1.11541193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11541193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.908396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18229 KachelY 24010 0.35377432 -1.11541193 20.269775 -63.908396
    Oben rechts KachelX + 1 18230 KachelY 24010 0.35396607 -1.11541193 20.280762 -63.908396
    Unten links KachelX 18229 KachelY + 1 24011 0.35377432 -1.11549626 20.269775 -63.913228
    Unten rechts KachelX + 1 18230 KachelY + 1 24011 0.35396607 -1.11549626 20.280762 -63.913228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11541193--1.11549626) × R
    8.43299999999658e-05 × 6371000     		dl = 537.266429999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11541193--1.11549626) × R
    8.43299999999658e-05 × 6371000     		dr = 537.266429999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35377432-0.35396607) × cos(-1.11541193) × R
    0.000191750000000046 × 0.43980756998989 × 6371000     		do = 537.286189946901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35377432-0.35396607) × cos(-1.11549626) × R
    0.000191750000000046 × 0.439731832324903 × 6371000     		du = 537.19366584265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11541193)-sin(-1.11549626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43980756998989-0.439731832324903)×R²
    abs(0.35396607-0.35377432)×7.5737664986697e-05×R²
    0.000191750000000046×7.5737664986697e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.5737664986697e-05×40589641000000     		ar = 288640.978284584m²