Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18228 / 23891
↖ ↑ ↗
← S 63.327482°
E 20.258789°		 ← 548.38 m → S 63.327482°
E 20.269775°		 →
↑
548.35 m
↓
↑
548.35 m
↓
S 63.332413°
E 20.258789°		 ← 548.29 m →
300 681 m²		 S 63.332413°
E 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556289672851562 y=0.729110717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556289672851562 × 215)
    floor (0.556289672851562 × 32768)
    floor (18228.5)     		tx = 18228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729110717773438 × 215)
    floor (0.729110717773438 × 32768)
    floor (23891.5)     		ty = 23891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18228 / 23891 ti = "15/18228/23891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18228/23891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18228 ÷ 215
    18228 ÷ 32768     		x = 0.5562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23891 ÷ 215
    23891 ÷ 32768     		y = 0.729095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5562744140625 × 2 - 1) × π
    0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.45819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43944922179105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35358257} λ = 0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43944922179105))-π/2
    2×atan(0.237058289272103)-π/2
    2×0.232761633326681-π/2
    0.465523266653363-1.57079632675     		φ = -1.10527306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10527306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.327482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18228 KachelY 23891 0.35358257 -1.10527306 20.258789 -63.327482
    Oben rechts KachelX + 1 18229 KachelY 23891 0.35377432 -1.10527306 20.269775 -63.327482
    Unten links KachelX 18228 KachelY + 1 23892 0.35358257 -1.10535913 20.258789 -63.332413
    Unten rechts KachelX + 1 18229 KachelY + 1 23892 0.35377432 -1.10535913 20.269775 -63.332413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10527306--1.10535913) × R
    8.60700000000492e-05 × 6371000     		dl = 548.351970000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10527306--1.10535913) × R
    8.60700000000492e-05 × 6371000     		dr = 548.351970000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35358257-0.35377432) × cos(-1.10527306) × R
    0.000191749999999991 × 0.44889044717923 × 6371000     		do = 548.382189224173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35358257-0.35377432) × cos(-1.10535913) × R
    0.000191749999999991 × 0.448813534500879 × 6371000     		du = 548.288229677476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10527306)-sin(-1.10535913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44889044717923-0.448813534500879)×R²
    abs(0.35377432-0.35358257)×7.69126783511931e-05×R²
    0.000191749999999991×7.69126783511931e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.69126783511931e-05×40589641000000     		ar = 300680.692508327m²