Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18226 / 22322
↖ ↑ ↗
← N 75.638173°
W129.940796°		 ← 75.76 m → N 75.638173°
W129.938049°		 →
↑
75.75 m
↓
↑
75.75 m
↓
N 75.637492°
W129.940796°		 ← 75.76 m →
5 739 m²		 N 75.637492°
W129.938049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139057159423828 y=0.170307159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139057159423828 × 217)
    floor (0.139057159423828 × 131072)
    floor (18226.5)     		tx = 18226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170307159423828 × 217)
    floor (0.170307159423828 × 131072)
    floor (22322.5)     		ty = 22322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18226 / 22322 ti = "17/18226/22322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18226/22322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18226 ÷ 217
    18226 ÷ 131072     		x = 0.139053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22322 ÷ 217
    22322 ÷ 131072     		y = 0.170303344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139053344726562 × 2 - 1) × π
    -0.721893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26789472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170303344726562 × 2 - 1) × π
    0.659393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07154518018111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26789472} λ = -2.26789472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07154518018111))-π/2
    2×atan(7.9370778629263)-π/2
    2×1.44546574446883-π/2
    2.89093148893765-1.57079632675     		φ = 1.32013516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26789472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.940796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32013516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.638173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18226 KachelY 22322 -2.26789472 1.32013516 -129.940796 75.638173
    Oben rechts KachelX + 1 18227 KachelY 22322 -2.26784678 1.32013516 -129.938049 75.638173
    Unten links KachelX 18226 KachelY + 1 22323 -2.26789472 1.32012327 -129.940796 75.637492
    Unten rechts KachelX + 1 18227 KachelY + 1 22323 -2.26784678 1.32012327 -129.938049 75.637492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32013516-1.32012327) × R
    1.18899999999034e-05 × 6371000     		dl = 75.7511899993844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32013516-1.32012327) × R
    1.18899999999034e-05 × 6371000     		dr = 75.7511899993844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26789472--2.26784678) × cos(1.32013516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248044517852977 × 6371000     		do = 75.7591804181391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26789472--2.26784678) × cos(1.32012327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24805603625671 × 6371000     		du = 75.7626984351227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32013516)-sin(1.32012327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248044517852977-0.24805603625671)×R²
    abs(-2.26784678--2.26789472)×1.15184037325078e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15184037325078e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15184037325078e-05×40589641000000     		ar = 5738.98131713895m²