Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18225 / 52720
↖ ↑ ↗
← S 73.201317°
W 79.887085°		 ← 176.52 m → S 73.201317°
W 79.881592°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 73.202905°
W 79.887085°		 ← 176.51 m →
31 162 m²		 S 73.202905°
W 79.881592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278099060058594 y=0.804450988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278099060058594 × 216)
    floor (0.278099060058594 × 65536)
    floor (18225.5)     		tx = 18225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804450988769531 × 216)
    floor (0.804450988769531 × 65536)
    floor (52720.5)     		ty = 52720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18225 / 52720 ti = "16/18225/52720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18225/52720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18225 ÷ 216
    18225 ÷ 65536     		x = 0.278091430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52720 ÷ 216
    52720 ÷ 65536     		y = 0.804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278091430664062 × 2 - 1) × π
    -0.443817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39429266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.60888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91287404243872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39429266} λ = -1.39429266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91287404243872))-π/2
    2×atan(0.14765540827544)-π/2
    2×0.146596163442569-π/2
    0.293192326885137-1.57079632675     		φ = -1.27760400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39429266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.887085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27760400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.201317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18225 KachelY 52720 -1.39429266 -1.27760400 -79.887085 -73.201317
    Oben rechts KachelX + 1 18226 KachelY 52720 -1.39419679 -1.27760400 -79.881592 -73.201317
    Unten links KachelX 18225 KachelY + 1 52721 -1.39429266 -1.27763171 -79.887085 -73.202905
    Unten rechts KachelX + 1 18226 KachelY + 1 52721 -1.39419679 -1.27763171 -79.881592 -73.202905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27760400--1.27763171) × R
    2.77100000001251e-05 × 6371000     		dl = 176.540410000797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27760400--1.27763171) × R
    2.77100000001251e-05 × 6371000     		dr = 176.540410000797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39429266--1.39419679) × cos(-1.27760400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289009790447721 × 6371000     		do = 176.523645415727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39429266--1.39419679) × cos(-1.27763171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.288983262829388 × 6371000     		du = 176.507442670882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27760400)-sin(-1.27763171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289009790447721-0.288983262829388)×R²
    abs(-1.39419679--1.39429266)×2.65276183323837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65276183323837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65276183323837e-05×40589641000000     		ar = 31162.1265188052m²