Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18225 / 51255
↖ ↑ ↗
← S 70.712657°
W 79.887085°		 ← 201.75 m → S 70.712657°
W 79.881592°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 70.714471°
W 79.887085°		 ← 201.73 m →
40 692 m²		 S 70.714471°
W 79.881592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278099060058594 y=0.782096862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278099060058594 × 216)
    floor (0.278099060058594 × 65536)
    floor (18225.5)     		tx = 18225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782096862792969 × 216)
    floor (0.782096862792969 × 65536)
    floor (51255.5)     		ty = 51255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18225 / 51255 ti = "16/18225/51255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18225/51255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18225 ÷ 216
    18225 ÷ 65536     		x = 0.278091430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51255 ÷ 216
    51255 ÷ 65536     		y = 0.782089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278091430664062 × 2 - 1) × π
    -0.443817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39429266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.564178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77241892655196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39429266} λ = -1.39429266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77241892655196))-π/2
    2×atan(0.169921463761178)-π/2
    2×0.168313825863847-π/2
    0.336627651727695-1.57079632675     		φ = -1.23416868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39429266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.887085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23416868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.712657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18225 KachelY 51255 -1.39429266 -1.23416868 -79.887085 -70.712657
    Oben rechts KachelX + 1 18226 KachelY 51255 -1.39419679 -1.23416868 -79.881592 -70.712657
    Unten links KachelX 18225 KachelY + 1 51256 -1.39429266 -1.23420034 -79.887085 -70.714471
    Unten rechts KachelX + 1 18226 KachelY + 1 51256 -1.39419679 -1.23420034 -79.881592 -70.714471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23416868--1.23420034) × R
    3.16599999998779e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23416868--1.23420034) × R
    3.16599999998779e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39429266--1.39419679) × cos(-1.23416868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330305900115575 × 6371000     		do = 201.74680414943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39429266--1.39419679) × cos(-1.23420034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330276016901136 × 6371000     		du = 201.728551847523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23416868)-sin(-1.23420034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330305900115575-0.330276016901136)×R²
    abs(-1.39419679--1.39429266)×2.9883214439308e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9883214439308e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9883214439308e-05×40589641000000     		ar = 40691.6718386446m²