Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18224 / 51254
↖ ↑ ↗
← S 70.710842°
W 79.892578°		 ← 201.79 m → S 70.710842°
W 79.887085°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 70.712657°
W 79.892578°		 ← 201.77 m →
40 712 m²		 S 70.712657°
W 79.887085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278083801269531 y=0.782081604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278083801269531 × 216)
    floor (0.278083801269531 × 65536)
    floor (18224.5)     		tx = 18224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782081604003906 × 216)
    floor (0.782081604003906 × 65536)
    floor (51254.5)     		ty = 51254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18224 / 51254 ti = "16/18224/51254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18224/51254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18224 ÷ 216
    18224 ÷ 65536     		x = 0.278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51254 ÷ 216
    51254 ÷ 65536     		y = 0.782073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39438854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782073974609375 × 2 - 1) × π
    -0.56414794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77232305275272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39438854} λ = -1.39438854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77232305275272))-π/2
    2×atan(0.169937755558447)-π/2
    2×0.168329660421291-π/2
    0.336659320842583-1.57079632675     		φ = -1.23413701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39438854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23413701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.710842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18224 KachelY 51254 -1.39438854 -1.23413701 -79.892578 -70.710842
    Oben rechts KachelX + 1 18225 KachelY 51254 -1.39429266 -1.23413701 -79.887085 -70.710842
    Unten links KachelX 18224 KachelY + 1 51255 -1.39438854 -1.23416868 -79.892578 -70.712657
    Unten rechts KachelX + 1 18225 KachelY + 1 51255 -1.39429266 -1.23416868 -79.887085 -70.712657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23413701--1.23416868) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23413701--1.23416868) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39438854--1.39429266) × cos(-1.23413701) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330335792437566 × 6371000     		do = 201.786107707327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39438854--1.39429266) × cos(-1.23416868) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330305900115575 × 6371000     		du = 201.767847938199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23413701)-sin(-1.23416868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330335792437566-0.330305900115575)×R²
    abs(-1.39429266--1.39438854)×2.98923219903546e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.98923219903546e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.98923219903546e-05×40589641000000     		ar = 40712.4540544333m²