Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18223 / 24017
↖ ↑ ↗
← S 63.942199°
E 20.203857°		 ← 536.64 m → S 63.942199°
E 20.214844°		 →
↑
536.63 m
↓
↑
536.63 m
↓
S 63.947025°
E 20.203857°		 ← 536.55 m →
287 951 m²		 S 63.947025°
E 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556137084960938 y=0.732955932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556137084960938 × 215)
    floor (0.556137084960938 × 32768)
    floor (18223.5)     		tx = 18223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732955932617188 × 215)
    floor (0.732955932617188 × 32768)
    floor (24017.5)     		ty = 24017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18223 / 24017 ti = "15/18223/24017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18223/24017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18223 ÷ 215
    18223 ÷ 32768     		x = 0.556121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24017 ÷ 215
    24017 ÷ 32768     		y = 0.732940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556121826171875 × 2 - 1) × π
    0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.46588134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46360941919955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35262383} λ = 0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46360941919955))-π/2
    2×atan(0.231399547618766)-π/2
    2×0.227397212242965-π/2
    0.454794424485929-1.57079632675     		φ = -1.11600190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11600190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.942199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18223 KachelY 24017 0.35262383 -1.11600190 20.203857 -63.942199
    Oben rechts KachelX + 1 18224 KachelY 24017 0.35281558 -1.11600190 20.214844 -63.942199
    Unten links KachelX 18223 KachelY + 1 24018 0.35262383 -1.11608613 20.203857 -63.947025
    Unten rechts KachelX + 1 18224 KachelY + 1 24018 0.35281558 -1.11608613 20.214844 -63.947025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11600190--1.11608613) × R
    8.42299999999074e-05 × 6371000     		dl = 536.62932999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11600190--1.11608613) × R
    8.42299999999074e-05 × 6371000     		dr = 536.62932999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35262383-0.35281558) × cos(-1.11600190) × R
    0.000191749999999991 × 0.439277646122658 × 6371000     		do = 536.638814151022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35262383-0.35281558) × cos(-1.11608613) × R
    0.000191749999999991 × 0.439201976430193 × 6371000     		du = 536.546373084672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11600190)-sin(-1.11608613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439277646122658-0.439201976430193)×R²
    abs(0.35281558-0.35262383)×7.56696924645306e-05×R²
    0.000191749999999991×7.56696924645306e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.56696924645306e-05×40589641000000     		ar = 287951.324165614m²