Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18222 / 52719
↖ ↑ ↗
← S 73.199729°
W 79.903564°		 ← 176.54 m → S 73.199729°
W 79.898071°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
S 73.201317°
W 79.903564°		 ← 176.52 m →
31 165 m²		 S 73.201317°
W 79.898071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278053283691406 y=0.804435729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278053283691406 × 216)
    floor (0.278053283691406 × 65536)
    floor (18222.5)     		tx = 18222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804435729980469 × 216)
    floor (0.804435729980469 × 65536)
    floor (52719.5)     		ty = 52719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18222 / 52719 ti = "16/18222/52719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18222/52719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18222 ÷ 216
    18222 ÷ 65536     		x = 0.278045654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52719 ÷ 216
    52719 ÷ 65536     		y = 0.804428100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.44390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39458028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804428100585938 × 2 - 1) × π
    -0.608856201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91277816863948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39458028} λ = -1.39458028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91277816863948))-π/2
    2×atan(0.147669565239039)-π/2
    2×0.146610018311692-π/2
    0.293220036623385-1.57079632675     		φ = -1.27757629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39458028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.903564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27757629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.199729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18222 KachelY 52719 -1.39458028 -1.27757629 -79.903564 -73.199729
    Oben rechts KachelX + 1 18223 KachelY 52719 -1.39448441 -1.27757629 -79.898071 -73.199729
    Unten links KachelX 18222 KachelY + 1 52720 -1.39458028 -1.27760400 -79.903564 -73.201317
    Unten rechts KachelX + 1 18223 KachelY + 1 52720 -1.39448441 -1.27760400 -79.898071 -73.201317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27757629--1.27760400) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dl = 176.540409999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27757629--1.27760400) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dr = 176.540409999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39458028--1.39448441) × cos(-1.27757629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289036317844139 × 6371000     		do = 176.539848025029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39458028--1.39448441) × cos(-1.27760400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289009790447721 × 6371000     		du = 176.523645415727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27757629)-sin(-1.27760400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289036317844139-0.289009790447721)×R²
    abs(-1.39448441--1.39458028)×2.65273964177304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65273964177304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65273964177304e-05×40589641000000     		ar = 31164.9869460275m²