Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18221 / 51250
↖ ↑ ↗
← S 70.703582°
W 79.909058°		 ← 201.86 m → S 70.703582°
W 79.903564°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
S 70.705397°
W 79.909058°		 ← 201.84 m →
40 740 m²		 S 70.705397°
W 79.903564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278038024902344 y=0.782020568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278038024902344 × 216)
    floor (0.278038024902344 × 65536)
    floor (18221.5)     		tx = 18221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782020568847656 × 216)
    floor (0.782020568847656 × 65536)
    floor (51250.5)     		ty = 51250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18221 / 51250 ti = "16/18221/51250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18221/51250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18221 ÷ 216
    18221 ÷ 65536     		x = 0.278030395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51250 ÷ 216
    51250 ÷ 65536     		y = 0.782012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278030395507812 × 2 - 1) × π
    -0.443939208984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39467616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.56402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77193955755576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39467616} λ = -1.39467616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77193955755576))-π/2
    2×atan(0.170002938369334)-π/2
    2×0.168393012981826-π/2
    0.336786025963653-1.57079632675     		φ = -1.23401030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39467616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.909058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23401030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.703582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18221 KachelY 51250 -1.39467616 -1.23401030 -79.909058 -70.703582
    Oben rechts KachelX + 1 18222 KachelY 51250 -1.39458028 -1.23401030 -79.903564 -70.703582
    Unten links KachelX 18221 KachelY + 1 51251 -1.39467616 -1.23404198 -79.909058 -70.705397
    Unten rechts KachelX + 1 18222 KachelY + 1 51251 -1.39458028 -1.23404198 -79.903564 -70.705397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23401030--1.23404198) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23401030--1.23404198) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39467616--1.39458028) × cos(-1.23401030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330455386726644 × 6371000     		do = 201.85916205581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39467616--1.39458028) × cos(-1.23404198) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330425486292119 × 6371000     		du = 201.840897331128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23401030)-sin(-1.23404198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330455386726644-0.330425486292119)×R²
    abs(-1.39458028--1.39467616)×2.99004345246656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99004345246656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99004345246656e-05×40589641000000     		ar = 40740.053564273m²