Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18220 / 51272
↖ ↑ ↗
← S 70.743478°
W 79.914551°		 ← 201.44 m → S 70.743478°
W 79.909058°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 70.745289°
W 79.914551°		 ← 201.42 m →
40 578 m²		 S 70.745289°
W 79.909058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278022766113281 y=0.782356262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278022766113281 × 216)
    floor (0.278022766113281 × 65536)
    floor (18220.5)     		tx = 18220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782356262207031 × 216)
    floor (0.782356262207031 × 65536)
    floor (51272.5)     		ty = 51272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18220 / 51272 ti = "16/18220/51272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18220/51272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18220 ÷ 216
    18220 ÷ 65536     		x = 0.27801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51272 ÷ 216
    51272 ÷ 65536     		y = 0.7823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39477203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39477203} λ = -1.39477203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77404878113904))-π/2
    2×atan(0.169644742053353)-π/2
    2×0.168044857520256-π/2
    0.336089715040512-1.57079632675     		φ = -1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39477203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18220 KachelY 51272 -1.39477203 -1.23470661 -79.914551 -70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 18221 KachelY 51272 -1.39467616 -1.23470661 -79.909058 -70.743478
    Unten links KachelX 18220 KachelY + 1 51273 -1.39477203 -1.23473823 -79.914551 -70.745289
    Unten rechts KachelX + 1 18221 KachelY + 1 51273 -1.39467616 -1.23473823 -79.909058 -70.745289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23470661--1.23473823) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23470661--1.23473823) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39477203--1.39467616) × cos(-1.23470661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 201.436654748116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39477203--1.39467616) × cos(-1.23473823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329768263169293 × 6371000     		du = 201.418422077941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23470661)-sin(-1.23473823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329768263169293)×R²
    abs(-1.39467616--1.39477203)×2.98510727793078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98510727793078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98510727793078e-05×40589641000000     		ar = 40577.7830731238m²