Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18220 / 51268
↖ ↑ ↗
← S 70.736230°
W 79.914551°		 ← 201.51 m → S 70.736230°
W 79.909058°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
S 70.738042°
W 79.914551°		 ← 201.49 m →
40 605 m²		 S 70.738042°
W 79.909058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278022766113281 y=0.782295227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278022766113281 × 216)
    floor (0.278022766113281 × 65536)
    floor (18220.5)     		tx = 18220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782295227050781 × 216)
    floor (0.782295227050781 × 65536)
    floor (51268.5)     		ty = 51268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18220 / 51268 ti = "16/18220/51268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18220/51268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18220 ÷ 216
    18220 ÷ 65536     		x = 0.27801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51268 ÷ 216
    51268 ÷ 65536     		y = 0.78228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39477203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39477203} λ = -1.39477203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77366528594208))-π/2
    2×atan(0.169709812473419)-π/2
    2×0.168108106964858-π/2
    0.336216213929716-1.57079632675     		φ = -1.23458011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39477203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23458011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.736230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18220 KachelY 51268 -1.39477203 -1.23458011 -79.914551 -70.736230
    Oben rechts KachelX + 1 18221 KachelY 51268 -1.39467616 -1.23458011 -79.909058 -70.736230
    Unten links KachelX 18220 KachelY + 1 51269 -1.39477203 -1.23461174 -79.914551 -70.738042
    Unten rechts KachelX + 1 18221 KachelY + 1 51269 -1.39467616 -1.23461174 -79.909058 -70.738042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23458011--1.23461174) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23458011--1.23461174) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39477203--1.39467616) × cos(-1.23458011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329917534115683 × 6371000     		do = 201.509594946413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39477203--1.39467616) × cos(-1.23461174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329887674922051 × 6371000     		du = 201.49135731612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23458011)-sin(-1.23461174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329917534115683-0.329887674922051)×R²
    abs(-1.39467616--1.39477203)×2.98591936326309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98591936326309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98591936326309e-05×40589641000000     		ar = 40605.3140457964m²